态叠加原理

量子力学中的基本原理

态叠加原理，又称叠加态原理，是量子力学中的一个基本原理，广泛应用于量子力学各个方面。态叠加原理实际上是在希尔伯特空间中构造一类形式上很像波动函数的物理表示（波函数）。

定义

粒子的波动性源于波函数的叠加性质，而波函数代表了粒子的状态，因此由波的叠加性就可以得到态叠加原理（principle of superposition of states）：如果都是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态．用数学表达式表示出来，即为

式中，是复数。从态叠加原理的表述可以看出，这一原理是“波函数可以完全描述一个体系的量子态”和“波的叠加性”这两个概念的概括。

解释

量子力学中这样描述微观粒子状态的方式和经典力学中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的一个基本原理一态叠加原理表现出来。

在经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理：两个可能的波动过程和，线性叠加的结果也是一个可能的波动过程，如图1所示双缝衍射实验。光学中的惠更斯原理就是这样的一个原理：在空间任意一点P的光波强度可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波在P点线性叠加起来而得出。利用这个原理可以解释光的干涉、衍射现象。

在量子力学中，如果和是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加

（是复常数）(1)

也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理。

态叠加原理是“波的相干叠加性”与“波函数完全描述一个微观体系的状态”两个概念的概括。它还是与测量密切联系在一起的一个基本原理，与经典波叠加的物理含义有本质的不同。设体系处在描写的状态中，测量某力学量F得到结果A；又假设当体系处在态时，测量F得到结果B。则当体系处在态时，测量F可能得到结果A或结果B。

这里还要强调指出一点：在式(1)中叠加的是波函数（和均可用一个波函数来表示），即概率幅，而不是概率密度。由式(1)得到

(2)

显然。也就是说，体系处在态时粒子在空间某处出现的概率密度不等于体系处在态时的概率密度和体系处于态时的概率密度之和。在式(2)中还有干涉项和，粒子的德布罗意波的干涉、衍射效应正是由这样的干涉项引起的。

推广到更一般的情况，态叠加原理可表述为：当是体系的可能状态时，它们的线性叠加 (3)

式中，为复常数，也是体系的一个可能状态。式(3)中的可以是某力学量的本征函数所描写的本征态，于是态叠加原理还说明了：量子力学体系的任意一个由描写的状态，都可以表示为某力学量的本征态的某种线性叠加。

态叠加原理也可以用比较严格的数学语言表述为：可以用来描写一个体系的状态的所有态函数，组成一个集合，它对于以式(1)表示的线性(叠加)运算是封闭的。数学上把这样的一个集合叫做一个线性空间（在数学上，再加上一些严格规定的这种线性空间叫做希尔伯特(Hilbert)空间）。它是一种函数空间，其中包含的每一个态函数称为这个线性空间的一个元素。所以，态叠加原理的含义是：量子力学中描写一个体系的态函数甲的总体，张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里展开的。态叠加原理又可表述为：物理体系的状态由希尔伯特空间中的矢量描写。

在电子被晶体衍射的实验中，粒子被晶体衍射以后，可能以各种不同的动量运动。以一个确定的动量运动的状态用波函数

（4）

描写，这个状态也被称为动量本征态。按照态叠加原理，粒子的任一状态可以表示为动量本征态的某种线性叠加，即表示为取各种可能值的的线性叠加：

(5)

粒子被晶体衍射后所形成的波，是这许多平面波相干叠加的结果。由于可以连续变化，式(5)中对求和应该以对积分来代替。

在一般情况下，任何一个波函数都可以看作各种不同动量的平面波的叠加，即可以写成如下形式：

(6)

式中， (7)

这里，已经把式(4)中的时间函数部分归入函数中，而写为。此外，已经把式(4)中的归一化常数A等于。式(6)中的函数由下式给出：

(8)

这个结论的证明很简单：把式(7)代入式(6)中得到

(9)