波莱尔定理

一致连续的概念和声称所有闭区间上的连续函数是一致连续的定理

波莱尔定理，即海涅－博雷尔定理，在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine–Borel theorem）或有限覆盖定理、博雷尔－勒贝格定理（Borel–Lebesgue theorem），以爱德华·海涅和埃米尔·博雷尔命名

简介

在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine–Borel theorem）或有限覆盖定理、博雷尔－勒贝格定理（Borel–Lebesgue theorem），以爱德华·海涅和埃米尔·博雷尔命名，断言：

对于欧几里得空间Rn的子集S，下列两个陈述是等价的：

在实分析的文章中，前面性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的 Heine–Borel 定理为：度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。

历史和动机

今天叫做海涅-博雷尔定理的历史开始于十九世纪对实分析的坚实基础的寻觅。理论的中心是一致连续的概念和声称所有闭区间上的连续函数是一致连续的定理。狄利克雷首先证明了它，并隐含的在他的证明中利用了闭区间的给定开覆盖的有限子覆盖的存在性。他在1862年的演讲中使用了这个证明，并在1904年得以出版。后来Eduard Heine、卡尔·魏尔斯特拉斯和Salvatore Pincherle使用了类似的技术。埃米尔·博雷尔在1895年首次发表并证明了一种形式的现在的海涅-博雷尔定理。他的公式化受限制于可数覆盖。昂利·勒贝格(1898年)和Schoenflies(1900年) 把它推广到了任意覆盖。

定理的讨论

如果一个集合是紧致的，则它必定是闭合的。

设集合S是R的子集。首先证明一个引理：若a是S的一个极限点，则任意有限个开集U，其中U与a的某邻域VU不相交，所组成的开集族C不能构成S的一个开覆盖。实际上，所有的VU的交集是a的一个邻域，记为W。由于a是S的一个极限点，W必须包含一个属于S的点x。而由于x不被包含于C，故开集族C不能构成S的一个开覆盖。

若S是紧集但不是闭集，则存在S的一个极限点a，它不属于S。考虑一个开集族C’，其中C’是由所有S中的点x的某个邻域 N(x)所组成的，其中每个邻域N(x)足够小，使得其与a的某个邻域不相交。则C’构成S的一个开覆盖，但是C’的任意有限子集符合引理条件，故不可能构成S的开覆盖。由此，与S的任意开覆盖存在有限子覆盖矛盾。故S是闭的。这个证明也可以说明任意Hausdorff空间的紧集是闭集。

如果一个集合是紧致的，则它是有界的。

考虑以一个公共点为中心有任何半径的那些开球。这可以覆盖任何集合，因为在这个集合中所有点都用与那个点有某种距离。这个覆盖的任何有限覆盖必定是有界的，因为它会被界定在这个子覆盖的最大开球内。因此，这个子覆盖的所覆盖的任何集合都必定是有界。

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