流数

1665年牛顿提出的概念

流数(fluxion) 1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（即微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。

发展历史

所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。他说的“差率”“变率”就是微分。与此同时，他还在1676年首次公布了他发现的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

《流数法和无穷级数》

编写背景

《流数法和无穷级数》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家牛顿著。撰于1671年。这是牛顿在数学方面的代表作，其中将1666年10月的流数短论进行了扩充。其英译本于1736年出版，但原拉丁文本直到1779年才出版。牛顿生前一直在利用这部著作，其手稿形式便由于一些数学家借阅而广为人知。

内容简介

《流数法与无穷级数》对于牛顿的流数分析方法提供了比《运用无穷多项方程的分析学》更一般、更好的阐述。其前一部分包含了后一本书的扩充，并且包括用于求解代数方程和微分方程的无穷级数法（待定系数法）的详细讨论。接着，以20个正式叙述的问题为标题，相当广泛地收集了牛顿的级数法和流数法的应用实例。“流数法”反映了这一理论的力学背景，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量的变化率。牛顿表述流数法的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算。在“问题3一一极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了下述原理：当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少……所以求出它的流数，并合迄今流数等于零。这里，牛顿的意思是，使f’(x)=0的点即是f（x）的极值点。他列举了能用这种方法求解的9个几何问题，如问题4是作曲线的切线。在该书中，牛顿继续使用无穷小瞬作为流数计算的基础，他记时间的瞬为0，它所引起的流量的瞬为，，…他在具体计算中指出那些含0的项可被看作零而略去

《流数法与无穷级数》中还包括两个积分表。第一个表的标题是：“与直线图形有关的曲线一览表”，其中列出了相应的面积能够通过微分或反微分明确算出的一些曲线。第二个表是：“与圆锥曲线有关的曲线一览表”，其中列出了一些曲线，其相应的面积能够通过适当的圆锥曲线下的面积来表示。牛顿列举了一些面积的计算，以说明他的积分表的应用。

附录

在该著作的一个附录（1969年才首次发表）中，牛顿发展了一种曲线的“最初与最终比”的几何理论，后来部分地纳入了1687年出版的《自然哲学的数学原理》第一编第一章及后来的《论曲线的求积》中。

流数出现的意义

流数的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析（牛顿称之为“借助于无限多项方程的分析”），并进一步进进发展为微分几何、微分方程、变分法等等，这些又反过来促进了理论物理学的发展。例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲线的解答，这是变分法的最初始问题，半年内全欧数学家无人能解答。1697年，一天牛顿偶然听说此事，当天晚上一举解出，并匿名刊登在《哲学学报》上。伯努利惊异地说：“从这锋利的爪中我认出了雄狮”。

牛顿在前人工作的基础上，提出“流数(fluxion)法”，建立了二项式定理，并和G.W.莱布尼茨几乎同时创立了微积分学，得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，为数学的发展开辟了一个新纪元。目前在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

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