混料设计

通过试验得出各种成分比例与指标的关系

混料问题，是工农业生产及科学试验中经常遇到的一个问题。试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系。例如，某种不锈钢由铁、镍、铜和铬四种元素组成，我们想知道每种元素所占比例与抗拉强度的数量关系。怎样的试验就可以得到精度较好而且易于计算的回归方程？这是一种特殊的回归设计问题，试验指标，如不锈钢的抗拉强度，仅与各种成分，如铁、镍、铜和铬所占的百分比有关系，而与混料的总数量没有关系。

基本介绍

自从Scheffe一九五八年提出单纯形格子设计以来，混料回归设计的理论和它的应用都有很大发展。人们针对各种数学模型、试验区域与各种意义下的“最优性”提出了各种设计方法与分析计算法。混料回归设计在工业、农业和科学试验中都得到广泛的应用。在工业试验方面，如汽油混合物、混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、油漆、食品、医药、洗涤剂、混纺纤维及烧结矿等产品都会遇到混料回归设计问题。

在混料试验中，每个分量的贡献都要表示成混料或合成的比例。每个分量的比例必须是非负的，而且它们的总和必须是1，这就决定了混料回归设计是一种受特殊约束的回归设计问题。用Y表示试验指标，X1、X2、……、Xn表示混料系统中n种成份各占的百分比，混料回归设计就是要在混料条件

Xi≥ 0 (i=1，2，……，n) X1+X2+……+Xn=1 (1)

或者除混料条件(1)之外，再加上一些其他条件的约束下，合理地安排试验，得出关于Y的回归方程，使得分析容易、准确，便于计算和推测最佳混料比。

混料条件(1)决定了混料回归设计中的数学模型，不同于一般回归设计中所采用的数学模型，一般回归设计中采用的模型是多项式，而混料回归设计不能采用一般的多项式，否则会由于混料条件(1)的限制而引起信息矩阵退化。混料回归设计中常采用称为Scheffe多项式的数学模型。例如，一般的三元二次回归方程为：

y=b0+ΣbiXi+ΣbiiXi2+ΣbijXiXj (2)

而混料设计中的三分量二次回归方程为：

y=ΣbiXi+ΣbijXiXj (3)

它没有常数项与平方项，只有一次项与交叉项。

混料回归设计中一般的三分量二次多项式回归方程的形式为(3)。

一般情况，混料回归设计的分量多项式回归方程常采用下述形式给出：

混料设计的多项式回归方程：

二次式 y=ΣbiXi+ΣbijXiXj (4)

不完全三次式 y=ΣbiXi+ΣbijXiXj+ΣbijkXiXjXk (5)

完全三次式 y=ΣbiXi+ΣbijXiXj+ΣrijXiXj(Xi－Xj)+ΣbijkXiXjXk (6)

复杂的

还有更复杂的高次方程……，称为Scheffe多项式回归方程或规范多项式回归方程。

在混料问题中，各分量n的变化范围要受条件(1)的限制。在几何上，各分量Xi的变化范围可由一个(n－1)维正规单纯形来表示。顶点代表单一成分组成的混料，棱上点代表两种成分组成的混料，面上的点代表多于两种而少于n 种成分组成的混料，而内部的点则是代表全部n种成分组成的混料。当混料的分量Xi除受约束条件(1)限制外还要受其他约束条件限制时，因子空间变得更加复杂，是正规单纯形内的一个几何体。例如兼有上、下界约束的n分量混料问题的因子空间是(n－1)维正规单纯形内的一个凸多面体。

平面上的正规单纯形是等边三角形，三维空间的正规单纯形是正四面体，当维数高于三时正规单纯形不能用图画出。下面我们以分量数n=3为例说明为什么约束条件(1)的点只能取在正规单纯形上。取空间直角坐标系0－X1 X2 X3分别在三个坐标轴上取三点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，由于约束条件(1)的限制，则各分量Xi只能在△ABC上取值，也就是说,三成分系统的试验点只能取在二维正规单纯形的等边三角形上。为简便计，使用时将不再画出三个坐标轴，只画出一个等边三角形就可以了，取此等边三角形的高为1，则此等边三角形内任一点F到三边距离之和是1。

这样，我们可以把FA’长度看成是F 点的Xi坐标值，把FB’与FC’的长度分别看成是F的X2值与X3值，在等边三角形上建立起“二维正规单纯形坐标系”或“二维重心坐标系”。同样地，我们可以在三维(或多维)空间内取一个高为1的正规单纯形，则此正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是1，我们可以把此点到各个面的距离分别看成是相应的坐标，建立起三维(或多维)正规单纯形坐标系或重心坐标系。

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