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渐伸线

渐伸线

渐伸线(evolvent)，也称渐近线。与一条曲线C的所有切线相交成直角的曲线Γ，称为曲线C的渐伸线。当一根绳正沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。渐伸线的形状见于鹰嘴、鲨鱼背鳍和棕榈树悬叶尖端。机器齿轮，齿两侧曲线（齿郭曲线）大多采用渐伸线。

简介
如图1(a)所示，与一条曲线C的所有切线相交成直角的曲线Γ，称为曲线C的渐伸线（渐近线）；原曲线C称为(对它的任意渐伸线) C1的渐屈线。同一条平面曲线(渐屈线)，有无限条渐伸线。任何两条渐伸线对应点的距离是常数。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。在曲线上只有一条渐屈线。
一条直线在一个圆上作无滑动的滚动时，直线上一定点运动的轨迹称为“圆的渐伸线”，而称该圆为渐伸线的“基圆”，直线为渐伸线的“发生线”，如图1(b)所示。即若在圆周绕有无弹性的细绳，且保持这个圆固定不动，而将细绳拉紧并逐渐展开，，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐伸线。
渐伸线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐伸线越弯曲；基圆越大，渐伸线越平直；基圆为无穷大时，渐伸线为斜直线。
参数方程
若基圆的半径为r，以基圆圆心为原点建立坐 标系，则可得渐开线的参数方程：
式中， 为定点与圆心连线和X轴间的夹角。
性质
（1）渐开线的发生线展直前后长度不变，即发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长，如图2(a)中，弧。
（2）渐开线上任一点的法线必与基圆相切。KB为渐开线在K点的法线，发生线沿基圆作纯滚动，所以线段为渐开线上点的法线，且必与基圆相切。B是渐开线K点处的曲率中心，BK是曲率半径；A处的曲率半径为0。渐开线各点的曲率半径是变化的，K点离基圆越远，曲率半径越大，渐开线形状越平缓。如图2(b).
（3）渐开线的形状取决于基圆的大小，同一基圆上的渐开线形状完全相同。基圆越大渐开线越平直，基圆半径为无穷大时，渐开线就成为直线，如图2(c)。
（4）因渐开线是从基圆开始向外展开的，故基圆以内无渐开线；渐开线上各点压力角不相等。离基圆越远，压力角越大。如图2(d)。
渐伸线的画法
（1）画法1：固定一圆柱形物体，在侧面绕紧一圈细线，细线长度足够。将线外端连在一支笔上。用笔尖拉紧细线，将线逐渐从圆周上伸直、展开，笔尖就会画出圆的渐伸线。
（2）画法2：已知圆的直径D，如图3所示，画渐伸线的方法为：
1）将圆周分成若干等分(图中为12等分)，将周长πD作相同等分；
2）过周长上各等分点作圆的切线；
3）在第一条切线上，自切点起量取周长的一个等分（πD/12）得点1；在第二条切线上，自切点起量取周长的两个等分（2xπD/12）得点2；依此类推得点3、4、……、12；
4）用曲线板光滑连接点1、2、3、……、12。即得圆的渐伸线。
5）以此类推，可以画出圆第二圈、第三圈、...的渐伸线。
渐伸线的应用
机器齿轮齿两侧曲线（齿郭曲线）大多采用渐伸线，以获得稳定转动比，保证运转平稳，减小震动，称为渐开线齿轮。
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