渐屈线

曲线微分几何中的概念

渐屈线是曲线微分几何中的概念，它是曲线上密切圆圆心的轨迹。等价的描述是一条曲线的渐屈线即是其法线的包络。

曲线的微分几何

公式简介

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义

设是一个正整数，是正整数或，是实数非空区间，属于。一个类（即为次连续可微）向量值函数

称为一条类参数曲线或曲线的一个参数化，称为曲线的参数，称为曲线的像。将曲线和曲线的像区别开来非常重要，曲线是一个映射，而像是一个集合。一个给定的像可以描述为许多不同的曲线。

可以想象参数代表时间，而曲线作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果I是闭区间 [a,b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。

如果，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 C-曲线，如果 γ(a) = γ(b) 对所有k≤r。

如果为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是类。记号 - 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 -曲线

称为阶正则当且仅当对任何属于：

在中线性无关。

特别地，一条 -曲线是正则的如果对任何

法线

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

法线的计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程表示的平面，向量就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

如果曲面S用隐函数表示，点集合满足，那么在点处的曲面法线用梯度表示为

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

法线的唯一性

曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。

包络线

在几何学，某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条线都有至少一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

设一个曲线族的每条曲线可表示为，其中是曲线族的参数，是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由得出，其中以以下的方程求得：

若曲线族以隐函数形式表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去得出。

绣曲线是包络线的例子。直线族（其中是常数，是直线族的变数）的包络线为抛物线。

渐伸线

概述

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点S。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在P的切线上的Q，使得曲线长SP和直线段长PQ相同。渐伸线就是Q的轨迹。

若曲线B有参数方程，其中，曲线A的方程为。

曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。

若该曲线有参数方程（），则其渐屈线为