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点集拓扑

数学的拓扑学的分支

点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

定义
拓扑是一个包含一个集合X连同和X的子集族Σ(称为开集系)的二元组(X,Σ)，它满足如下三个公理：
研究范围
具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如：
虽然还有其它一些更加复杂的术语，但这些术语通常都直接与这些基本术语相关，并且这些更加复杂的术语不在其他数学分支中广泛采用。其它的一些拓扑学主要分支有代数拓扑学、几何拓扑学、微分拓扑学。从这些名称中也可以看出，点集拓扑为这些领域提供了共通的基础。
开集和闭集
开集是指不包含任何自己边界点的集合。或者说，开集包含的任意一点的充分小的邻域都包含在其自身中。
满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。
例如，实数线上的由不等式规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式，或者规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。
开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。
在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。在一个拓扑空间内，闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中，一个闭集的极限运算是闭合的。
开核和闭包
数学上，特别是在拓扑学中，拓扑空间内点集 S 的内部（interior，又称开核open kernel）含有所有直观上“不在 S 的边界上”的 S 的点。S 的内部中的点称为 S 的内点。
等价地，S 的内部是 S 补集的闭包的补集。内部的概念在很多情况下和闭包的概念对偶。
一个集合的外部是它补集的内部，等同于它闭包的补集；它包含既不在集合内，也不在边界上的点。一个子集的内部、边界和外部一同将整个空间分为三块（或者更少，因为这三者有可能是空集）。内部和外部总是开的，而边界总是闭的。没有内部的集合叫做边缘集。
数学上，在一个拓扑空间里，子集S 的闭包是指由S 内所有的点及S 的极限点所组成的一个集合；直观上来说，即为所有“靠近”S的点所组成的集合。在子集S的闭包内的点称为S 的闭包点。闭包的概念在许多方面能与内部的概念相类比。
邻域和邻近性
在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，并且该性质是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。
这个概念密切关联于开集和内部的概念。
紧致性和连续性
在数学中，如果欧几里得空间R的子集是闭合的并且是有界的，那么称它是紧致的。例如，在R中，闭合单位区间[0, 1]是紧致的，但整数集合Z不是（它不是有界的），半开区间[0, 1)也不是（它不是闭合的）。
更现代的方式是称一个拓扑空间为紧致的，如果它的开覆盖都有有限子覆盖。海涅-博雷尔定理证明了这个定义对欧几里得空间子集等价于“闭合且有界”。
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
分离公理
在拓扑学及相关的数学领域里，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件，分离公理即是指之中的某些限制条件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理，得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫。部分分离公理以字母T开头，是由德文单词“Trennung”而来，意义是分离。
分离公理之所以称为公理，是因为以前定义拓扑空间时，有些人会将其也做为公理来定义，而得出意思狭义的拓扑空间。但在拓扑空间的公理化完成后，那些都成了“各种”的拓扑空间。然而，“分离公理”这一词就这样固定了下来。
可数集
在数学上，可数集，或称可列集、可数无穷集合，是与自然数集的某个子集具有相同基数（等势）的集合。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。
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