焦点

数学术语

在几何，焦点（focus或foci）（英国：/foʊkaɪ/，美国：/foʊsaɪ/）中，焦点是指构建曲线的特殊点。例如，一个或两个焦点可用于定义圆锥截面，其四种类型是圆形，椭圆形，抛物线和双曲线。此外，使用两个焦点来定义卡西尼椭圆和笛卡尔椭圆，并且使用两个以上焦点来定义n-椭圆。

简介

圆锥截面

根据两个焦点定义圆锥

椭圆可以定义为到两个给定焦点的距离之和为常数的点的轨迹。

圆是椭圆的特殊情况，其中两个焦点彼此重合。因此，可以更简单地将圆定义为每个距离单个给定焦点的固定距离的点的轨迹。也可以将圆定义为阿波罗尼奥斯圆，就两个不同的焦点而言，作为具有与两个焦点的距离的固定比例的点集合。

抛物线是椭圆的极限情况，其中的一个焦点是无限远的点。

双曲线可以定义为到两个给定焦点的距离之间的差的绝对值为常数的点的轨迹。

根据焦点和方向定义圆锥

还可以根据焦点和直线来描述所有的圆锥截面，这是一条不包含焦点的给定线。圆锥被定义为到每个焦点的距离相除点的轨迹是固定的正数，称为偏心率e。如果e在0和1之间，则圆锥是椭圆；如果e = 1，圆锥是抛物线; 如果e> 1，圆锥曲线是双曲线。如果到焦点的距离是固定的，并且直线是无限远的线，那么偏心率为零，那么圆锥是圆。

根据焦点和直线圆定义圆锥

也可以将所有的圆锥截面描述为与单个焦点和单个圆形方阵等距的点的轨迹。对于椭圆，圆心的焦点和中心都有有限坐标，并且圆心的半径大于圆的中心与焦点之间的距离；因此，焦点在内线圈内。这样生成的椭圆的第二个焦点位于圆心的中心，椭圆完全在圆内。

对于抛物线，阵列的中心移动到无穷远点（参见投影几何）。直线“圆”变为零曲率的曲线，与直线不可区分。抛物线的两臂随着它们的延伸而变得越来越平行，“无穷远”变得平行；使用投影几何原理，两个平行线在无穷远点相交，抛物线成为闭合曲线（椭圆投影）。

为了产生双曲线，选择直线圆的半径小于该圆的中心与焦点之间的距离；因此，焦点是在直线圆圈之外。双曲线接近渐近线的双臂和双曲线的一个分支的“右手”臂与无限远点处的双曲线另一分支的“左手”臂相遇;这是基于这样的原则：在投影几何中，单线在无限远的地方遇到自己。因此，双曲线的两个分支是无限远的曲线的两个（扭曲的）一半。

在投影几何中，所有圆锥曲线是相同的，因为每个定义都可以为其他定义。

天文意义

在引力双体问题中，两个体彼此的轨道由两个重叠的圆锥截面描述，其中一个物体的焦点与另一个物体的焦点之一在两个物体的重心处重合。

因此，例如，冥王星的最小月亮有一个椭圆轨道，在冥王星系统的重心中有一个点，这是一个两点之间的空间点。并且冥王星也以椭圆中的一个焦点移动到身体之间的同一个重心。冥王星的椭圆完全在Charon的椭圆内。

相比之下，地球的月球与其中一个焦点位于月球和地球重心的椭圆中，这个重心位于地球本身之内，而地球（更准确地说，它的中心）以一个焦点移动到一个椭圆中在地球内同样的重心。重心距离地球中心至地面的四分之三。

此外，冥王星系统与太阳一起围绕其重心移动一个椭圆形，地球 - 月球系统（以及太阳系中的每个其他行星月球系统或无月球星球）也是如此。在这两种情况下，重心都在太阳体内。

笛卡尔和卡西尼椭圆

笛卡尔椭圆是每个点的集合，与两个给定焦点的距离的加权和是一个常数。如果权重相等，则会出现椭圆的特殊情况。

卡西尼椭圆是每个点的集合，其中两个给定焦点的距离的乘积是常数。

推广

一个n-椭圆是与n个焦点具有相同的距离总和的点集合。（n = 2的情况是传统的椭圆）

焦点的概念可以推广到任意代数曲线。令C为类m的曲线，令I和J表示无限远的圆点。通过I和J中的每一个绘制m切线到C中。有两组m行将具有m2点交点，在某些情况下由于奇异点而异。这些交点是定义为焦点，换句话说，如果PI和PJ都与C相切，则点P是焦点。当C是实曲线时，只有共轭对的交点是真实的，因此在实际焦点和m2-m假想焦点。当C是二次曲线时，以这种方式定义的真实焦点恰好是可以用于C的几何构造的焦点。

共聚焦曲线

令P1，P2，...，Pm作为类m的曲线C的焦点。令P是这些点的切线方程的乘积，Q是无穷大圆形点的切线方程的乘积。那么P = 0和Q = 0的共同切线的所有线都与C相切。因此，通过AF + BG定理，C的切线方程式具有HP + KQ = 0的形式。由于C具有等级m，所以H必须是常数K而是小于或等于m-2。 H = 0的情况可以作为退化消除，因此C的切线方程可以写为P + fQ = 0，其中f是任意多项式m-2

例如，令P1 =（1,0），P2 =（ - 1,0）。切线方程为X + 1 = 0，X-1 = 0，因此P = X2-1 = 0。无限循环点的切线方程为X + iY = 0，X-iY = 0，因此Q = X2 + Y2。因此，给定焦点的二次曲线的切线方程为X2-1 + c（X2 + Y2）= 0或（1 + c）X2 + cY2 = 1，其中c为任意常数。在点坐标这成为

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