牛顿问题

数学术语

牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？这种类型的题目就叫做牛顿（牛吃草）问题，亦叫做消长问题。

简介

牛顿问题又称牛吃草问题或消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。

基本公式

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

（1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量=牛的头数×吃的天数－每天长草量×吃的天数；

（3）吃的天数=原有草量÷（牛的头数－每日新增草量）；

（4）牛吃草的速度=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

这四个公式是解决牛顿问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

解题关键

牛顿问题，称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量；

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量)；

4、最后求出牛可吃的天数。

想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，类似于60头牛1天吃的草，平均分到(22-10)天里，便得到5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分（5头）吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。

设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220(份)，16头牛10天吃草为1×16×10=160(份)

（220-160）÷（22-10）=5(份)，说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110（份），说明原有老草110份。

综合式：110÷（25-5）=5.5(天)，就能算出一共多少天。

如果想求出有多少牛，那么题目一定会告诉原来的草量，方法就和求草一样。可以先写出求草的算式，再带入数字。

题目解法

在牧草不生产的条件下，如果12头公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔（当时牛顿想出问题并解出答案的地方）的牧草，则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供8头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。

牛顿还给出代数解法：他设格尔草地一个星期内新长出的牧草相当于面积为y由格尔的草地，又每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积是相等的。根据题意，设若所求的公牛头数为x，就为（10/3+10/3*4y）/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x，解得x=36，即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。

还有一种方法就是使用方程式的解法。

例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少牛能够2天吃完？

做方程式：设牧场原有草量为y，每天新增加的牧草可供x头牛食用，N头牛能够2天将草吃完，根据题目条件，列出方程式：解方程组得

其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数-单位时间长草量可供应的牛的数量）×天数。

另一解法：

牛吃草问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若每头牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此题无解。因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可能10头牛食欲不佳一个月吃都不完这些草，因此每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问题成立并且能够得到答案的充要条件。

得到这个结论后，就要开始确定一个平衡的方程式出来。不难想到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。于是可以假设一头牛一天的吃草量为1个单位，并假设第三种情况牛吃草的天数为N；接下来开始寻找平衡方程，可以看到在问题提供的条件中，第一种情况的草的总量为10×22，第二种情况的草的总量为16×10，第三种情况的草的总量为25×N。

然后寻找方程的平衡：既然现在已经找到三种情况里草地的总量，那么不难想到方程的另一边就要靠草的量来进行平衡，于是，假设原有草量为Y，草每天的生长量为X，得到如下方程组：解此方程组，可得因此25头牛用五天半的时间就能吃完这些草。

规律总结

牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

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