状态变量

能够完全描述动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。它应能确定系统未来的演化行为。

释义

状态变量是完整描述系统运动的一组变量。它应能确定系统未来的演化行为。例如，理想气体的状态变量为温度T、压力P和体积V，一维质点运动的状态变量为它的位置和速度。对应于系统是连续或跳跃式的演化，其状态变量亦可以是连续的或者是离散的。能够完全描述动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。所谓完全描述系统的时域行为指的是，如果给定初始时刻t0∈I的状态x(t0)和[t0,t] I上的输入函数u(t)，则系统在[t0,t) I上任何瞬时的行为都唯一地被确定了。

电路分析中的状态变量

电路中的状态变量：电路中的一组独立动态变量，是电路中线性无关的、必要的、充分的且数目最少的任意时刻的一组响应。

如上图所示RLC电路，电路的状态变量为：

对线性时不变动态网络，独立的电容电压和电感电流就是能满足上述条件的一组变量，可作为网络的一组状态变量。

状态变量分析法

方法概述

描述系统的方法通常有输入输出法和状态变量分析法，也称状态空间法。通常对系统时域或频域的分析均是运用输入输出法，即主要关心的是系统的输入输出之间的关系，而不考虑系统内部的有关问题。对于简单的一般单输入单输出系统，使用输入输出法很方便，但对于多输入多输出系统，尤其是对于现代工程中碰到的越来越多的非线性系统或时变系统的研究，若采用输入－输出描述法则几乎不可能。

随着系统理论和计算机技术的迅速发展，自20世纪60年代开始，作为现代控制理论基础的状态变量法在系统分析中得到广泛应用。此方法的主要特点是利用描述系统内部特性的状态变量取代仅描述系统外部特性的系统函数，并且将这种描述十分便捷的应用于多输入——多输出系统。此外，状态空间方法也成功地用来描述非线性系统或时变系统，并且易于借助计算机求解。

状态变量分析法中的相关概念

状态：一个动态系统的状态是表示系统的一组最少物理量，通过这些物理量和输入就能完全确定系统的行为。

状态变量：能够表示系统状态的那些变量称为状态变量。

状态矢量：能完全描述一个系统行为的个状态变量，可以看作矢量的各个分量。

状态方程：描述状态变量变化规律的一组一阶微分方程组。各方程的左边是状态变量的一阶导数，右边是包含有系统参数，状态变量和激励的一般函数表达式，不含变量的微分和积分运算。

输出方程：描述系统输出与状态变量之间的关系的方程组。各方程左边是输出变量，右边是包括系统参数，状态变量和激励的一般函数表达式，不含变量的微分和积分运算。

对于离散时间系统，其状态变量和状态方程的描述类似，只是状态变量都是离散量，因而状态方程是一组一阶差分方程，而输出方程则是一组离散变量的线性代数方程。

状态变量分析法的步骤

第一步：选定状态变量，列写状态方程和输出方程；

第二步：利用系统的初始状态和输入激励，求解状态方程和输出方程的解。

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