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状态方程

控制科学

状态方程是指刻画系统输入和状态关系的表达式。状态向量所满足的向量常微分方程称为控制系统的状态方程。状态方程是控制系统数学模型的重要组成部分。

释义
状态方程式刻画系统输入和状态关系的表达式。状态向量所满足的向量常微分方程称为控制系统的状态方程。如连续线性时变控制系统：
式中的(a)式称为状态方程。如果状态向量的初始条件x(t0)=x0和t≥t0时的输入都已知，则可从(a)式完全决定t≥t0时刻的所有状态x(t)，因而控制系统的动态行为就完全确定了。刻画控制系统的输出与状态之联系的代数关系称为输出(或量测)方程。(b)式便是输出方程。输出方程提供了人们通过量测数据了解系统状态变化的信息。状态方程和输出方程是控制系统数学模型的重要组成部分。
连续时间系统状态方程的一般形式
连续时间系统的状态方程为状态变量的一阶微分方程组。设n阶系统的状态变量为x1(t)、x2(t)、…、xn(t)，激励为e(t)，则状态方程的一般形式如下：
(2.1)
式中各系数均由系统的元件参数确定，对于线性非时变系统，它们都是常数；对于线性时变系统，它们中有的可以是时间函数。式（2.1）是单输入的情况，如果有m个输入e1(t)、e2(t)、…、en(t)，则可得状态方程的一般形式为
可以写成如下矩阵形式：
（2.2）
定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x'(t)分别为
(2.3)
再定义输入矢量e(t)为
另外，把由系数aij组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bij组成的n行m列的矩阵记为B，则
把式（2.3）、式（2.4）和式（2.5）代入式（2.2），可将状态方程简写为
如果系统有q个输出y1(t)，y2(t)，…，yq(t)，则输出方程的矩阵形式为
仿照前面，定义输出矢量y(t)为
并把由系数cij组成的q行n列矩阵记为C，把由系数dij组成的q行m列矩阵记为D，即
于是，输出方程简写成
对于线性时不变系统，上面所有系数矩阵为常数矩阵。式（2.6）、式（2.10）分别是状态方程和输出方程的矩阵形式。应用状态方程和输出方程的概念，可以研究许多复杂的工程问题。
离散时间系统状态方程的一般形式
离散时间系统状态方程为：
输出方程为：
如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合。
状态方程为：
输出方程为：
状态方程和输出方程可以看出，这是由输入量、输出量。状态变量以及联系它们之间关系的A、B、C、D矩阵组成，即状态方程和输出方程可以简写为：
线性定常系统的状态方程求解
（1）齐次状态方程的解：
考虑n阶线性定常齐次方程 的解。
首先分析标量微分方程的解。设标量微分方程为
对式（2）取拉氏变换得 ；
取拉氏反变换，得 。
标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：
【定理1】 n阶线性定常齐次状态方程（1）的解为：
式中： 。
【推论1】 n阶线性定常齐次状态方程 的解为 。
齐次状态方程解的物理意义是eA(t-t0)将系统从初始时刻t0的初始状态x0转移到时刻t的状态x(t)。故eA(t-t0)又称为定常系统的状态转移矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton）法)
从上面得到两个等式
其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为eAt的频域求法或拉氏反变换法.
（2）非齐次状态方程的解：
设n阶非齐次方程
将状态方程左乘e -At，有
移项 积分，再移项左乘eAt，得
【定理2】 n阶线性定常非齐次方程（5）的解为
从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u（t）的作用两部分结合而成。
（3） 的计算方法
（3.1）定义法：
（3.2）拉氏变换法：
（3.3）特征值法：
这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A的特征值不重时（互异），设A的特征值为λi(i = 1,2,...n)，则可经过非奇异变换把A化成对角标准形，即：
根据eAt的性质7写出
根据定义，得
从而可得：
（9）式即为A的特征值不重时，计算eAt的公式。其中P阵为把A化为对角标准形的交换阵。P阵的特征向量的求法：
若矩阵A的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块Aj的矩阵指数eAjt的分式为
求矩阵指数eAt的分式为：
式中P是把Aj化为约当标准形的变换阵。当A既有j重根又有互异的根时：
P阵的特征向量的求法：
注：在（13）式中将重根对应的特征向量p1,p2,...pj可放在P阵的前部，也可以放后，无严格规定。
(3.4）莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法:
考虑A的特征多项式
显然对A的n个特征值 ，有 。
根据Cayley-Hamilton定理有
这里可以看出矩阵A与λi具有同等地位。
移项
上式表明， 是 的线性组合。
因此，可设
式中， 是待定系数， 。
下面分两种情况确定待定系数：
（1）A有n个不同特征值 ，A的特征值 与A具有同等地位，则有
这里共有n个方程，可以唯一确定n个待定系数 。
（2） 当A的特征值有重时，设A有p个互异特征值，r个不同的重特征值，且各重数为 ， 。若 是 重特征值，则将 满足的方程 对 求 次导，这样共有 个独立方程。一般地，设A的特征值为 为单特征值。其中， 是 重特征值， 为 重特征值。
有 ，则 由下面n个独立方程确定：
线性定常离散系统的状态方程求解
对n阶线性定常离散系统
其求解方法有两种：
（1）递推法：
（2）Z变换法：
Z是频域解法。对式（17）作Z变换，有
移项，得
左乘 ，得
取 ，得
【定理3】n阶线性定常离散系统式（17）的解为
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