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狄利克雷特征

算术函数

在解析数论及代数数论中，狄利克雷特征是一种算术函数，是Z/nZ的特征。它用来定义L函数。两者都是由狄利克雷在1831年为了证明狄利克雷定理而引进。

定义
狄利克雷特征指有下面性质、由整数到复数的函数：
存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n+k)
对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)
χ(1)=1
首个条件说明特征是一个以k为周期的函数，其余两个条件说明它是完全积性函数。
若果特征的周期不是1，由周期性和完全积性可知，特征的值若非单位根便是0。当且仅当gcd(n,k)>1，χ(n)=0。
若χ(n)=Σ(d|n)g(n)，那么g(n)=(2χ(dn)/3)-χ(n^[(1+n)×(n÷2)])，可以看作升级版的默比乌斯反演公式。
例子
实特征指值域为实数的特征，它的值只限于 { ? 1,0,1}。
若一个特征对于所有与k互质的整数的值都为1，则称为主特征。
若p为素数，勒让德符号(n|p)便是狄利克雷特征的例子。
基本概念
数论中重要的基本概念之一，为P.G.L.狄利克雷所引进的模q的特征,通常称之为狄利克雷特征。它可以用不同的方法来定义。这里采用如下定义:
设,pj(1≤j≤s)是不同的奇素数,gj是模的最小正原根，以及其中φ(d)是不超过d，且与d互素的正整数个数。对于任给的一组整数m,m0,m1,…,ms，把定义在整数集合上的函数的特征，其中r，r0，r1，…,rs是n对模的一个指数组，即,,1≤j≤s。为了着重指出特征Ⅹ(n)是属于模的, 经常采用记号Ⅹq(n)或Ⅹ(n)mod。有关特征的基本知识如下：
① 设Ⅹ(n)是模q的特征,当(n,)=1时恒有Ⅹ(n)=1，则称 Ⅹ(n)为模的主特征、记为Ⅹ0(n); 不然就称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其他的称为复特征。函数也是模的特征，称为Ⅹ(n)的共轭特征。
② 模q的特征Ⅹ（n）是以q为周期的周期函数，即Ⅹ(n+)=Ⅹ(n)。此外，Ⅹ(1)=1,|Ⅹ(n)|=1,(n,)=1。
③ 特征Ⅹ(n)是完全积性函数，即对任意整数n1,n2有，因此Ⅹ2(-1)=1。
④ 对于一个固定的模q, 有且仅有φ(q)个不同的模的特征。
⑤ 设塣(n)是模q的特征，则有　⑥ 设q≥1,(α,)=1，则有对模的所有不同的特征求和。
⑦ 设Ⅹ(n)是模q的非主特征,如果存在正整数q┡q，使得对所有满足条件(n1,q)=(n2,q)=1,n1呏n2(modq┡)的n1、n2有Ⅹ(n1)=Ⅹ(n2),那么就称Ⅹ(n)为模q的非原特征；否则就称为模q的原特征。
狄利克雷特征的主要作用在于：利用性质⑥，可以从一个给定的整数序列中,把属于某个公差为q的算术级数的子序列分离出来。因此，它在涉及算术级数的许多数论问题诸如算术级数中的素数定理、哥德巴赫猜想的研究中，起着关键的作用。
陈景润的观点
陈景润对狄利克雷特征的叙述
Dilikelei tezheng
狄利克雷特征
Dirichlet character
数论中重要的基本概念之一，为P.G.L.狄利克雷所引进的模的特征,通常称之为狄利克雷特征。它可以用不同的方法来定义。这里采用如下定义:
设[121-20],(1)是不同的奇素数,是模[121-21]的最小正原根，以及
[121-22]其中()是不超过，且与互素的正整数个数。对于任给的一组整数,,,…,，把定义在整数集合上的函数
[121-23]称为模[121-0]的特征，其中，，，…, 是 对模[121-0]的一个指数组，即[121-24],[121-25],1。为了着重指出特征 ()是属于模[121-0]的, 经常采用记号()或()mod[121-0]。有关特征的基本知识如下：
① 设()是模的特征,当(, [121-0])=1时恒有()=1，则称 ()为模[121-0]的主特征、记为(); 不然就称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其他的称为复特征。函数[121-26]也是模[121-0]的特征，称为()的共轭特征。
② 模的特征（）是以 为周期的周期函数，即(+[121-0])=()。此外，(1)=1,|()|=1,(,[121-0])=1。
③ 特征()是完全积性函数，即对任意整数,有[121-27]，因此(-1)=1。
④ 对于一个固定的模, 有且仅有()个不同的模[121-0]的特征。
⑤ 设()是模的特征，则有
[121-28]
⑥ 设1,(,[121-0])=1，则有
[121-29]式中Σ表对模[121-0]的所有不同的特征求和。
⑦ 设()是模的非主特征,如果存在正整数
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