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环绕数

数学领域术语

在数学中，环绕数（linking number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。

定义
空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：
每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。
计算环绕数
存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。
正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即
环绕数
这里n1,n2,n3,n4分别表示四类交叉数的个数。两个和 与 总相等。这样得到了如下另外的公式
环绕数
注意到只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而只涉及到上交叉。
性质与例子
怀特黑德链环两条曲线环绕数为零。
积分定义
给定两条不交可微曲线，定义从环面到单位球面高斯映射为
取单位球面上一点v，从而链环的正交投影到垂直于v的平面给出一个链环图表。观察到点 (s,t) 在高斯映射下映为v对应于链环图表中一个交叉，这里 在上。并且 (s,t) 的一个邻域在高斯映射下映为v的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于v的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖v的带符号次数。由于v是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。
曲线γ1与γ2的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：
环绕数
这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。
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