理想光学系统

光学概念

在几何光学中，所谓的理想光学系统，就是对足够大空间内的各个点能以足够宽光束成完善像、理想像的光学系统。理想光学系统将物空间的同心宽光束转换到像空间的同心光束，这种从一个空间变换到另一个空间的情况，在数学上可以归结成“共线变换”或“共线成像”的问题，这种共轴理想光学系统理论是由高斯建立起来的，因此人们也把理想光学系统理论称为高斯光学。

基本特性

理想光学系统理论是在1841年由高斯提出来的，所以理想光学系统理论又称为“高斯光学”。在各向同性的均匀介质中，理想光学系统的物像关系应具备以下特性：

1、点成点像：即对于物空间的每一点，在像空间必有一个点与之相对应，且只有一个点与之对应，这样的两个对应点称为物像空间的共轭点（如图1中的A点和A′点）。

2、线成线像：即对于物空间的每一条直线，在像空间必有一条直线与之相对应，且只有一条直线与之对应，这样的两条对应直线称为物像空间的共轭线（如图1中的BC和B′C′）。

3、平面成平面像：即物空间的每一个平面，在像空间必有一个平面与之相对应，且只有一个平面与之对应，这样的两个对应平面称为物像空间的共轭面（如图1中的PQ面和P′Q′面）。

由此推广，如果物空间上任意一点D位于直线BC上，那么其在像空间的共轭点D′也必位于共轭线B′C′上。同样，物空间中的一个同心光束必对应于像空间中的另一同心光束。上述这种点对点、直线对直线、平面对平面的成像，称为共线成像。

共线成像理论是理想光学系统的基础理论，它只是基本假设，实际中是不存在这样的理想光学系统的。显然，理想光学系统是实际光学系统的努力方向，所以搞清楚理想光学系统的基本特征，对寻求在某些方面接近于理想光学系统的实际系统是有益的。在设计实际光学系统时，人们常采用理想光学系统所抽象出来的一些光学特性和公式进行实际光学系统的初始计算，以使实际光学系统的设计成为可能，并使其计算得以简化，质量得到提高。

在实际光学系统的近轴区可以满足共线成像理论，因此，在进行光学系统设计时，往往以其近轴区的成像性质来衡量该系统的质量。

基点和基面

根据理想光学系统的特性，如果在物空间有一条和光学系统光轴平行的光线射入到理想光学系统，则在像空间必有一条光线与之相共轭。

如图2所示，O1和Ok两点分别是理想光学系统第一面和最后一面的顶点，FO1OkF′为光轴。物空间的一条平行于光轴的直线AE1经光学系统折射后，其折射光线GkF′交光轴于F′点，另一条物方光线FO1与光轴重合，其折射光线OkF′无折射地仍沿光轴方向射出。由于像方GkF′、OkF′分别与物方AE1、FO1相共轭，因此，交点F′为AE1和FO1交点（位于物方无穷远的光轴上）的共轭点，所以F′是物方无穷远轴上点的像，所有其它平行于光轴的入射光线均会聚于点F′，点F′称为光学系统的像方焦点（或称后焦点、第二焦点）。显然，像方焦点是物方无限远轴上点的共轭点。

同理，点F称为光学系统的物方焦点（或称前焦点、第一焦点），它与像方无穷远轴上点相共轭。任意一条过F点的入射光线经理想光学系统折射后，出射光线必平行于光轴。通过像方焦点F′且垂直于光轴的平面，称为像方焦平面（像方焦面）；通过物方焦点F且垂直于光轴的平面，称为物方焦平面（物方焦面）。显然，像方焦平面的共轭面在无穷远处，像方焦平面上任何一个物点发出的光束，经理想光学系统出射后必为一平行光束；同样，物方焦平面的共轭面也在无穷远处，任何一束入射的平行光，经理想光学系统折射后，必会聚于像方焦平面上的某一点。必须指出，焦点和焦面是理想光学系统的一对特殊的点和面。物方焦点F和像方焦点F′彼此之间不共轭，同样，物方焦平面和像方焦平面也不共轭。

如图3所示，延长入射光线AE1和出射光线GkF′，得到交点Q′；同样，延长入射光线BEk和G1F，可得交点Q。设光线AE1和BEk的入射高度相同，且都在子午面内。显然点Q和点Q′是一对共轭点。点Q是光线AE1和FQ交成的“虚物点”；点Q′是光线BEk和GkF′交成的“虚像点”。过点Q和点Q′作垂直于光轴的平面QH和Q′H′，则这两个平面亦相互共轭。由图3可知，位于这两个平面内的共轭线段QH和Q′H′具有相同的高度，且位于光轴的同一侧，故其垂轴放大率β =+1。我们称垂轴放大率为+1的这一对共轭面为主平面，其中的QH称为物方主平面（或前主面、第一主面），Q′H′称为像方主平面（或后主面、第二主面）。物方主平面QH与光轴的交点H称为物方主点，像方主平面Q′H′与光轴的交点H′称为像方主点。

主点和主平面也是理想光学系统的一对特殊的点和面。物方主平面和像方主平面、物方主点和像方主点，它们彼此之间是共轭的。

自物方主点H到物方焦点F的距离称为物方焦距（或前焦距、第一焦距），用f表示；自像方主点H′到像方焦点F′的距离称为像方焦距（或后焦距、第二焦距），用f′表示。焦距的正、负是以相应的主点为原点来确定的。若由主点到相应焦点的方向与光线传播方向相同，则焦距为正；反之为负。图3上中所示的情况为f<0，f′>0。

由△FQH和△F′Q′H′得到物方焦距和像方焦距的表达式为

一对主点和一对焦点构成了光学系统的基点，一对主面和一对焦面构成了光学系统的基面，它们构成了一个光学系统的基本模（如图4所示）型。对于理想光学系统，不管其结构（r，d，n）如何，只要知道其焦距值和焦点或主点的位置，其性质就确定了。

物像关系式

已知一理想光学系统的基点、基面位置，当物体的位置和大小一定时，即可用解析法求出像的位置和大小。为了导出有关的物像位置公式，先要确定物像的有关参数。

牛顿公式

如图5，大小为y的物体AB经理想光学系统后，其像A′B′的大小为y′。系统中F、F′、H、H′的位置均为已知。

牛顿公式中物体AB的物距x是以物方焦点F为原点，物距x的正负号按以下规则判定：若由物方焦点F到物点A的方向与光线传播方向一致，则物距x为正；反之为负。图5中的物距x为负。同样，像距x′是以像方焦点F′为原点至像点A′，若与光线的传播方向一致，则像距为正，反之为负。图5中的像距x′为正。

由相似△BAF和△RHF可得

同样，在△Q′H′F′和△B′A′F′中有

由此可得

这就是以焦点为原点的物像位置公式，称为牛顿公式。

高斯公式