理想气体状态方程

热力学术语

理想气体是没有相互作用的点粒子组成的理论气体，是一个理想情况下的理论模型。当粒子之间的势能与动能相比作用较小时，很多气体可以近似为理想气体

理想气体的类型

理想气体是没有相互作用的点粒子组成的理论气体，是一个理想情况下的理论模型。粒子之间的距离的尺度大于粒子之间相互作用的平均力程时，气体可以近似为理想气体。理想气体主要有三种：

1.经典理想气体或麦克斯韦-玻尔兹曼气体。一般来讲，理想气体指的是这一种

2.由玻色子组成的理想玻色气体

3.由费米子组成的理想费米气体

经典理想气体的运动规律基于经典的统计力学，而量子理想气体符合量子统计规律。量子理想气体中，处于相同态的粒子是全同的，费米子满足泡利不相容原理。

研究历史

1834年，克拉珀龙把卡诺的思想用数学形式表达出来，最先认清了卡诺所著《论火的动力》一书的巨大科学意义。这本书实际上已经表述了热力学第二定律。克拉珀龙根据这些思想，最先把图解法引入热力学中，特别是提出P-V坐标系。1834年，导出理想气体的状态方程，这个方程后来被门捷列夫推广（门捷列夫-克拉珀龙方程）。还导出确定物质的熔点和沸点与压强之间关系的方程，即克拉珀龙-克劳修斯方程（克劳修斯于1851年论证了这个方程）。

理论

克拉伯龙方程

克拉伯龙方程描述的是理想气体的经典热力学性质，方程是

其中是压强，是体积，是粒子数，是温度，是玻尔兹曼常数，国际单位制中

克拉伯龙方程是根据实验总结的公式，不过它可以通过统计物理的方法推导出来。当粒子之间的势能与动能相比作用较小时，很多气体可以近似为理想气体。在温度较低或者密度较高的情况下，气体的行为会偏离理想气体

克拉伯龙方程是从下面三个方程发展来的：

波义尔定律：

查尔斯定律：

阿伏伽德罗定律：

后来根据进一步的实验，物理学家们总结出了如下定律：

盖-吕萨克定律：压强不变时，一定质量的气体

查理定律：体积不变时，一定质量的气体后来，克拉伯龙根据之前的实验以及经验公式，总结出了经典理想气体的状态方程。

量子统计

系综理论

正则系综是粒子数不变，系统与热库有能量交换的系统。在正则系综中，编号为的微观态出现的概率是

其中，是这个微观态的能量，配分函数是

巨正则系综描述的是粒子数可变，系统与热库有能量交换的系统。巨正则系综中，微观态出现的概率是

其中，是化学势，是对应能级中的粒子数，巨配分函数是

玻色-爱因斯坦分布

在量子统计中，处于同一个态上的粒子是全同的。对于玻色气体，假设某个态的能量是，那么对应打的能级可以填充0，1，2……个粒子，因此玻色气体某个态上平衡态的填充数是

费米-狄拉克分布

费米子满足泡利不相容原理，不能有两个相同的费米子处于相同的量子态上。对于费米气体，能量是的能级上的电子数目只能是0或1，因此某个态的平衡态填充数是

统计物理中的基本物理量

根据巨配分函数的表达式（5），注意到

外界做功会改变体系的能量。当外界参数改变时，施加于填充数为的能级的粒子上的力是。因此广义力是

这个广义力可以是压强，此时。于是，热力学关系可以写成

将上式两边乘，利用的全微分表达式

根据熵的表达式，可以得到

或者说，因此在统计物理中，理想气体状态方程是

具体应用

揭示了温度的微观本质

根据理想气体状态方程，以及压强公式（这里表示分子平均平动动能）可以得到表达式：

处于同一热平衡状态的系统具有一个共同的宏观性质。称之为系统的温度。由上述推导过程可见，理想气体状态方程将气体系统的温度T这个宏观量与分子热运动平均平动动能气体这个微观量联系了起来。温度是气体分子平均动能的量度，标志着分子无规则热运动的剧烈程度。

用于刻画平衡态示意图

实验表明，当系统处于平衡态时，描写该状态的各个状态参量之间存在一定的函数关系，把平衡态下，各个状态参量之间的关系式叫系统的状态方程。状态方程的具体形式是由实验来确定的。在常温常压下，实际气体都可近似地当作理想气体来处理。压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高。

平衡态除了由一组状态参量来表述之外，还常用状态图中的个点来表示。根据理想气体状态方程可以用于刻画气体平衡态示意图，从而分析平衡变化过程中各物理量的改变。比如对给定的理想气体，其一个平衡态可由p-V图中对应的一个点来代表（或p-T图、或V-T图中的一个点）。不同的平态对应于不同的点，一条连续曲线代表一个由平衡态组成的变化过程。曲线上的箭头表示过程进行的方向，不同曲线代表不同过程。

测量大气压

利用理想气体状态方程，巧妙地平衡了内外压差，设计出了一种较为新颖的大气压强测量方法。最大的特点在于规避了以往测量大气压强方法中的弊端，做到了实验材料绿色环保，取材方便的同时，实验过程安全易行。同时实验过程直观体现了大气压强的实际效应，实验测量的最终数值结果，满足大气压强的定性测量要求。

工业测量中的应用

①精确地测量某个异形容器容积。

根据理想气体状态方程的“在气体的质量、性质及绝对温度不变的情况下，气体的压强与体积成反比”的这个结论，提出了一个测试容积的方案：首先在一个标准容器内注入一定量经过过滤的压缩空气，测得一个压强值，再将其与被测容器联通起来，测得联通后的压强值，根据前面推导出来的结论，轻而易举地就可以计算出被测容器的容积了。

②检测成品型容器类产品的密封性问题。

根据原理图，设定标准容器内的容积为V1，辅助容器的容积为V2，被测容器的容积为V3，被测工件内部的最大空间容积为V4。确定了以上各个空间的命名，首先选择一个完全无泄漏的产品作为被测容器（V4=0），并将其置于辅助容器内部。

测试开始，先由计算机向“气体控制阀1”发出接通指令，测试装置开始向标准容器的充气，当标准容器内的压强达到预定的压强值时，计算机向“气体控制阀1”发出关闭指令，关闭此阀。经过若干时间（使计算机上读到的压强数值稳定后），计算机会得到一个在标准容器内的压强值（设定为P1），此时气体的体积为V1+V2-V3。因为根据理想气体状态方程PV=nRT，可以推出P1V1=P2(V1+V2-V3) 和P2/P1=V1/ (V1+V2-V3) ，由此可以得出结论：对于一台标准的仪器（V1和V2已完全确定），测试一个完好的产品，P2/P1应该是一个定值。

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