理查德悖论

哲学术语

法国第戎中学教师理查德在1905年发表了一个悖论，大意如下：法语中某些片语表示实数，比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数π。法语字母也象英语字母一样有一定的顺序，所以我们可以把所有片语按照字母顺序排列，然后按照片语中字母的多少排列，少的在前，多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字（字母）定义的数了。它们构成了一个可数集合E。我们提出一个规则把这个序列改变一下造成一个数来：“设E中第n个数的第n位为p，我们造一个实数如下：其整数部分为0。如果p不是8或9其第n位小数为p+1；要是p是8或9的话，则第n位变成1。”这个实数显然不属于E，因为它和E中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示，因此应该属于E，这就出现矛盾。

内容

1905年法国数学家儒略·理查德首次描写了这个悖论。今天它被用来显示仔细区分数学与元数学的重要性。

如果选一种语言（如英语）来阐述和定义基数的纯算术性质。我们先默认有些词汇是作为像“公理”一样的存在，作为数学语言定义的起点和基石，从而避免绕圈子和无限递归，这些词汇本身我们先不讨论，对之后悖论的展现也无关紧要。例如：假定我们清楚以下语句含义“一个数可以被另一个整除”，“一个整数是两个整数的乘积”等。可以看出，每一个这样的定义都只含有有限的字母（英文中）。因此所有定义可以按照顺序排列：如果一个定义所用的英文字母数小于另一定义的字母数目，则将前一个定义排在后一个定义前面；如果两个定义字母数相同，那么就将二者按照字母表的先后顺序排出。按照此方法排列后，每一定义都有一个唯一的整数与之对应，这个整数代表了这个定义在定义序列中的位置，说穿了就是为每一个数学定义，按照定义的语句中字母个数和字母先后顺序进行编号和排序，这种排序从以整数1开始依次递增，所有序列号都是整数。

理查德之后又设置了一套规则，判断一个整数是否是理查德数。详情如下：既然每一个定义都有唯一一个整数序号与之对应，假如这个序号正好具有序号代表定义的性质，我们则说这个序号数字不具有理查德性质，不是理查德数。例如：有定义语句“不能被1和其自身以外的其他整数整除”，假如此定义语句对应的序号为17，显然17这个数字满足定义语句的性质，17就不是理查德数。反之一个序号数字不具有它所代表定义的性质，那么我们说这个的数字具有理查德性质，它就是理查德数。例如：假定，定义语句“某一个整数与这个整数自身的乘积”对应序列号为15，但15不会是一个整数平方，所以15就不具备定义语句的性质，那么就可以说15是理查德数。

悖论的出现：具有理查德性质的定义表达语句也是可以用文字描述的，这个表达语句也是由字母组成，可以由一个序号来代表，同时这个表达句也可以排列在所有定义语句序列中，且存在唯一一个整数数字序号，代表其固定的排列位置。假如设这个序号数是X，X代表的定义语句是：一个数具有理查德性质的文字表述，那么X是不是理查德数呢？如果X这个数是理查德数，那么就是说X不具备与X对应的定义表达句所阐述的性质时。就是说X是理查得数的话，当且仅当X不是理查德数。该命令既真又假。（思路与罗素悖论相似）此为理查德悖论。

解决

理查兹悖论并不是真正的悖论。在悖论排列定义时一个关键的、但是没有提到的假设被忽略了。

我们说到列举整数得着算术特征，也就是说设计加法、乘法等的特征。但是后来我们却在这些加进去了一个关于算术特征编号的特征。一个数字是否理查兹性不是我们本来打算列举的特征之一，因为这个定义是关于一个描述的字数等等的元数学写法。

因此要解决这个悖论我们需要区分数学（比如算术）和元数学（比如一个定义的写法）。

“把所有片语按照字母顺序排列”，是不可能组成有限集合的。编辑此集合时，也就是完成此集合前，法语：“集合E”无意义。因此不存在包含“集合E ”的代表实数的片语。

而在此集合出现后，集合E，出现意义，则原有集合已不符合编制集合的要求。必须编制新的集合。新集合包含全部含有“原有集合E” “集合E”的片语。

但在新集合完成后，原本无意义的词“第一次修改过的集合E”，出现实际意义，则必须对集合进行第二次修改。

如此循环，满足于 “把所有片语按照字母顺序排列”的集合，必须为无限集合

且集合中包含含有如下词条的全部片语：

“集合E”

“原有集合E”

“第一次修改后的新集合E”