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琴生不等式

高等数学名词

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。

琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用。它实质上就是对凸函数性质的应用，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系，能够很好的为高中数学压轴证明题服务。
定义公式
1.若 是区间 上的下凸函数，则对任意的 ，有不等式:
当且仅当 时等号成立。
2.其加权形式为：
若 是区间 上的下凸函数，则对任意的 ，且 ， 为正数，有
当且仅当时等号成立。
证明
此处证明加权形式，令即可证明一般形式
当n=1结论显然成立，下面讨论n≥2时的情况
当n=2，则由于是[a,b]上的下凸函数，∴在[a,b]内，在连接的直线之下,而,
设结论对n-1成立，则,,
应用
有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，如今可以非常容易证明一般情况的均值不等式。
比如
其中前面两个取就可以了
后面一个取就可以了。
举一个简单的例子：在中为凸函数（国外教材定义；若为凹函数，则国内教材定义）
同时，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含义是不同的。
涉及概率密度函数的形式
假设Ω是实线的可测子集，f（x）是一个非负函数
在概率语言中，f是概率密度函数。
然后Jensen的不等式变成了关于凸积分的下面的陈述：
如果g是任何实值可测函数且φ在g的范围内是凸的，那么：
如果g（x）=x，那么这种不等式的形式可以简化为一个常用的特例：
例如：随机变量的偶数矩
如果g（x）=x，并且X是一个随机变量，那么g是凸的
所以
特别是，如果有的甚至瞬间2N的X是有限的，X具有有限的均值。这个论证的延伸表明X具有每个阶的有限矩划分ñ。
替代有限形式
令Ω= {x1，...xn}，并且以μ为Ω上的计数度量，则一般形式简化为关于和的声明：
，
条件是λi≥0和
还有一个无限的离散形式。
统计物理学
当凸函数是指数函数时，Jensen不等式在统计物理学中特别重要，给出：
，
其中期望值是关于随机变量X中的一些概率分布。
这种情况下的证明非常简单（参见Chandler，第5.5节）。理想的不平等直接来自书写
然后应用不等式ë≥1 +X至最终指数。
信息论
如果p（X）是用于真正的概率分布X和q（X）是另一种分布，然后施加Jensen不等式随机变量ÿ（X）=q（X）/p（X）和函数φ（ÿ）= -log（y）给出
因此：
一个称为吉布斯不平等的结果。
它表明，当代码是基于真实概率p而不是任何其他分布q分配时，平均消息长度被最小化。即非负的量被称为相对熵的q从p。
由于-log（X）为严格凸函数X＞ 0，它遵循：当等号成立p（X）等于q（X）几乎无处不在。
Rao-Blackwell定理
主要文章：Rao-Blackwell定理
如果L是一个凸函数，一个亚西格玛代数，然后，从Jensen不等式的条件版本中，可以得到
所以如果δ（X）是给定一个可观测量向量X的未观测参数θ的估计量;如果T（X）是θ的充分统计量;那么可以通过计算获得改进的估计量，即具有较小的预期损失L的意义
，相对于θ的期望值δ在所有可能的观察值向量X上都可以与观察到的相同的T（X）值相匹配。
这个结果被称为Rao-Blackwell定理。
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