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生成矩阵

线性码的一种表示

生成矩阵是线性码的一种表示。e元[n,a]线性码C的一个生成矩阵是有限域Fe上的一个a×n矩阵，其行向量构成子空间C的一组基，设C与C′是两个e元线性码，G与G′分别为生成矩阵，若存在置换P使G=G′P，则称C与C′为等价码，在等价意义下，每个e元[n,a]码有一个形为[Ia A]的生成矩阵，这里Ia是a阶单位矩阵，A是一个a×(n-a)阵。线性码的生成矩阵是研究线性码的编码与译码的一个重要工具。

基本介绍
线性分组码的一个码组内有 个码元，其中 个信息码元， 个监督码元， ，表示为 码。 码可以表示 个状态，即可以有 个码字，但其中只有 个是许用码字，其余 个为禁用码字。许用码字中的r个监督码元与k个信息码元之间成线性关系。
下面以(7，4)码为例，说明生成矩阵的概念。
(7，4)线性分组码的一个码字C中有7个码元 ，其中 为信息码元， 为监督码元。监督码元与信息码元之间的关系可以用以下关系式表示：
式中，符号“+”为模2加。此(7，4)码的7个码元与信息码之间的关系可表示为矩阵方程，即
或者
其中
称式 为此(7，4)码的生成矩阵。由生成矩阵可构造差错控制编码器。
由式
可求得(7，4)线性分组码的16个许用码字为：0000000，0001011，0010101，0011110，0100110，0101101，0110011，0111000，1000111，1001100，1010010，1011001，1100001，1101010，1110100，1111111。
由(7，4)码的16个许用码组可以看出：任意两个许用组之和仍为一许用码组，最小码距为非零码组的最小码重。这就是线性分组码的封闭性。可以将式
的生成矩阵表示为
式中 为 阶单位方阵， 为 阶矩阵。称式
所示的生成矩阵为典型生成矩阵。由典型生成矩阵可以得到系统码。
重要特性
(1)生成矩阵 一定是 行 列的 阶矩阵，该生成矩阵 的每行构成一行矢量，共有 个行矢量 。
(2)线性分组码的每个码组(字)是生成矩阵 各行矢量的线性组合。
显然，当 为全零信息分组时， 为全零序列。
(3) 的每一行是一个码字。
因为若信息分组 (即 ，其他为0)，则 ；若 (即 ，其他为0)，则 ；依此类推，若 (即 ，其他为0)，则 。
(4)生成矩阵 的各行线性无关。
(5)如果生成矩阵 不具备式 的形式，则由该生成矩阵产生的 线性分组码为非系统码。然而，对于任意的 线性分组码，总可通过初等行变换及列交换将它的非系统码生成矩阵变换为另一等价的系统码的生成矩阵。此两等价生成矩阵生成的两个 线性分组码的检、纠错性能是相同的。
与监督矩阵H的关系
线性分组码完全可以由生成矩阵和监督矩阵所决定，一般在讨论编码问题时，常采用生成矩阵 ，而在讨论译码问题时，常采用监督矩阵 。
由于生成矩阵 中的每一行及其线性组合都是 码的码组(字)，所以结合监督位线性方程组的一般形式 ，有
或
或由上面几个公式，有
所以只有当或时上式才成立。这时的生成矩阵 与监督矩阵 可以互相转换，式中 是一个 阶的 矩阵， 是 矩阵的转置。
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