生锈圆规

塔塔里亚发现的生锈圆规

圆规主要用于画圆和圆弧。一般有大圆规、弹簧圆规和点圆规等三种。

简介

生锈的圆规

从15世纪到17世纪，许多数学家（包括三次方程求根公式的发现者塔塔里亚与卡丹，四次方程求根公式的发现者费拉里）研究过直尺和开口固定的圆规作正多边形的方法。直到1673年，丹麦人摩尔证明：用直尺和开口固定的圆规可以完成一切尺规作图。塔塔里亚（N·Tartaglia，1499～1557，意大利）在已知边长的情况下用生锈的圆规作出了正三角形。

1797年意大利数学家马斯罗尼发现：只用一个圆规就可作出一切尺规作图（丹麦的摩尔1697年就知道了，但传播的范围较窄）

法国数学家彭色列（J·V·Poncelet）在1822年进一步证明：预先在纸上画一个圆（要有圆心），只用一把直尺就可完成一切尺规作图。1833年德国数学家斯坦纳（Jacob Steiner 1796～1863，生于瑞士，后居德国）的一本书里给这件事以更漂亮的证明。

只用一把直尺，这个也太高级了！基本上尺规作图到这地步也就山穷水尽了，所以150年过去了，这一领域基本没人说话。

意料之外的事发生了，在斯坦纳1833年小书之后，沉寂了150年的尺规作图舞台上演出了精彩的一幕。这一幕的主角是中国人，揭幕人就是著名的美国的几何学家年逾七旬的老教授佩多（Pedoe）。佩多教授感觉生锈的圆规应该不会像人们所想得那么简单，他精心选择了两个问题在加拿大的一个数学杂志上征解（我手头没有史资，无法查证，但我猜想这个加拿大杂志很可能就是我们在其他版块提到的《Crux》）

佩多教授提出的第一个问题（1979年提出）：已知两点A、B，只用一把生锈的圆规（只能画半径为一的圆），能否作出点C，使得△ABC是正三角形？（由于没有直尺，A、B两点间也没有线段相连）

佩多教授提出的第二个问题（1982年提出）：已知两点A、B，只用一把生锈的圆规（只能画半径为一的圆），能否作出线段AB的中点M？（由于没有直尺，A、B两点间也没有线段相连）

对于佩多的第一个问题，由于生锈的圆规只能画半径为1的圆，当AB≤2时，佩多和他的学生找出了解决办法，但对于AB＞2时，从问题提出，三年过去了仍然找不出作图的方法。正当数学家们猜测这也大概是一个“不可能”的作图问题时，三位中国数学工作者：单墫、张景中、杨路（当时三人都在中国科技大学任教）在1983年用几种不同的方法加以肯定解决：能作出！

佩多教授得知中国同行解决了他的第一个问题之后，非常高兴，在一篇短文中他说这是他最愉快的数学经验之一。他还说很希望能看到第二个问题的解答，无论是能与否！

关于佩多的第二个问题的解决也是数坛佳话之一：只上过高中的19岁的自学青年侯晓荣花了一年时间研究这个问题，在1985年解决了这个被不少数学家称为无从下手的难题，他用代数的方法证明：用只可以作半径为1的圆的生锈的圆规可以完成一切普通的尺规作图。侯晓荣的这一结果远远超出了佩多教授的期望，使许多数学家感到惊讶。

方法

根据侯晓荣的这一证明，张景中、杨路给出了一个较为简单的作图方法。

张景中院士在回忆这段历史时指出：一个数学难题的解决，并不靠一两手绝招；巧妙而曲折的步骤的产生，靠的是步步为营的缜密安排，先把难题分解为几部分，再各个击破！……，这是一块硬骨头，……，确实是经过几个不眠之夜，顽强探索的结果。完成这么一个难以下手的作图设计，眼光既要看到全局，作出战略阶段的划分，又要细致地分析每个细节，实现战术任务。这一仗打下来，在尺规作图这一古老课题的研究记录上，写下了中国人的一页！

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