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病态方程组

病态方程组

由实际问题得到的方程组的系数矩阵或者常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会向前传播，从而影响到方程组的解。病态方程组是指因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组，称相应的系数矩阵A为病态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性。对病态方程组有四种处理原则：采用高精度的算术运算；采用预处理方法；采用特殊的数值解法或寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。

预备知识
扰动
设方程组为Ax=b，系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：和，则实际求解的方程组为。
条件数
求解线性方程组Ax=b时，设A是n阶非奇异矩阵，‖·‖为矩阵的任一种从属范数，则 ,称为矩阵A的条件数，其中 是A的逆矩阵。
定义
病态方程组是指因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组。病态的另外一个解释是很大范围的解都能近似满足方程组。因为舍入误差会使系数有一些小的改变，那么对于病态方程组，这些人为的改变会导致解有很大的误差。
表述一
设方程组为Ax=b，系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：和，如果和很小，而很大，则称方程组Ax=b为病态（ill-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的病态矩阵；反之，如果和微小时，也很微小，则称方程组Ax=b为良态（well-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的良态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性（如用LU分解法求解线性方程组时，更换主元有可能使解的精确度大大下降）。
表述二
求解线性方程组Ax=b时，设A是n阶非奇异矩阵，当条件数Cond（A）比较大时，A和b的小扰动会引起解的较大误差，所以条件数Cond（A）刻画了方程组Ax=b的性态。如果条件数比较大，就说方程组是“病态”的；如果条件数比较小，就说方程组是“良态”的；当然，病态和良态是相对的。
典例
设有方程组：
易得其精确解为 。
若常数项有一个扰动，得到方程组：
则其解为 。
可见A或b中元素的0.0001的微小变化会导致方程组解的巨大差异，这样的方程组就是“病态”方程组，可以利用范数来描述向量和矩阵的扰动误差。
判断和发现
对于病态的线性方程组，其求解自然要难于良态的方程组，或要采取特殊的方法才能求出有用的解。在求解以前，怎样判断和发现Ax=b是病态的呢?
一般方法
根据病态方程组的定义，可以通过计算条件数来判断。由于定义中涉及A ，故计算量太大而通常不被采用．人们经常利用的是估计条件数的方法。
特殊情况
在特殊情况下，可以依据下面出现的情况来判断：
（1）当det(A)相对来说很小或者A的某些行（或列）近似线性相关时，Ax=b可能是病态的；
（2）如果用选主元消去法求解Ax=b，在A的约化过程中出现小的主元，Ax=b可能是病态的；
（3）当解Ax=b时出现一个很大的解，Ax=b可能是病态的；
（4）当系数矩阵A的元素数量级相差很大，并且无一定规则时，Ax=b可能是病态的。
四种处理原则
若发现Ax=b可能是病态的．通常有四种处理原则：
采用高精度的算术运算
如利用双倍字长进行计算，以便改善和减轻矩阵病态的影响，但计算时间将大大增加。
采用预处理方法
寻求非奇异矩阵P，Q，使求解Ax=b（设A为n维非奇异方阵）转化为求解 或，其中 ，且改善A的条件数 。于是，可先求解 ，再求解 。当A为对称正定矩阵时，一般选取P，Q为对角阵或三角阵。
对病态线性方程组Ax=b进行预处理，如取P，Q为对角阵，称为平衡方法，即当系数矩阵A的元素数量级相差很大时，可采用行均衡或列均衡方法，这时矩阵A的条件数可能得到改善。所谓行均衡，是在解Ax=b之前，对A的每一行都乘以适当的数，使A所有的行按照某种范数大体上有相同的长度。
设 非奇异，计算 ，令 于是，求解Ax=b化为求解 或 ，这时有 。
采用特殊的数值解法
采用某些特殊的数值方法求解。
找病因改问题
寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。
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