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百鸡问题

数学问题

百鸡问题是一个数学问题，出自中国古代约5—6世纪成书的《张丘建算经》，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题，该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例。

问题
今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
历史渊源
原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
解法
数学解法
从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
①……x+y+z =100
②……5x+3y+(1/3)z =100
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t
y=25-7t
z=75+3t
因为x,y,z为正整数
所以4t大于0
25-7t大于0
75+3t大于0
解得t大于0小于等于25/7 又因为t为整数
所以t=1时
x =4；y =18；z =78
当t=2时
x =8；y =11；z =81
当t=3时
x =12；y =4；z =84
C语言解法
输出结果为：
公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
java语言解法
C#语言解法
程序如下：
PHP语言解法
Java语言解法以及结果
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