盈亏问题

数学问题

盈亏问题(problem about profit and loss)亦称盈不足问题，典型应用题之一。盈亏问题是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足);或者两次都盈余，或者两次都亏的数量时，求参加分配的物品总量及人员总数。这类问题称为盈亏问题。也称为盈不足问题。为我国古代数学书《九章算术》研究的项目之一。基本运算公式为：(盈+亏)÷(两次分得之差)=人数；(大盈-小盈)÷(两次分得之差)=人数；(大亏-小亏)÷(两次分得之差)=人数。

基本介绍

盈亏问题指一定人数平均分一定数量的物品，每人分得少则有余，每人分得多则不足的应用题.其计算公式为：

(盈+亏)÷每人两次所得差=人数；

两盈相减÷每人两次所得差=人数；

两亏相减÷每人两次所得差=人数；

每人所得数×人数+盈=物数；

每人所得数×人数－亏=物数。

盈亏问题最早见于中国的《九章算术》，后来传到亚细亚和欧洲，在欧洲代数学没有发达以前，曾广泛使用此法达几百年之久，直到1675年，意大利的数学书中还称这方法为la regola del cataino(意为中国算法)。《九章算术》称盈亏问题为原术，书中原文为：“今有(人)共买物，人出八，盈三;人出七，不足四；问人数物价各几何。”这段文字译为今文是：几人共同出钱买东西，每人出8元则多3元，若每人出7元则少4元，求人数和物价。

例题解析

盈是多余的意思，亏是不足的意思。平时在分物品时或者安排其他工作时，经常会遇到多余或是不足的情况，可以根据多余以及不足的数量引出解题的线索。这类应用题通常叫做盈亏问题。

例1 一个植树小组去栽树，如果每人栽4棵，还剩下13棵树苗;如果每人栽6棵，就缺少15棵树苗。求这个小组有多少人?一共有多少棵树苗?

解：已知每人栽4棵，还剩下13棵树苗没有栽上;如果每人栽6棵;就缺少15棵树苗。一个是余下了，一个是不足，相差多少棵呢?相差(13+15)=28棵。这就是说，如果按照第二种办法，可以比第一种办法多栽28棵树。为什么出现这种情况呢?因为每人多栽2棵树。

总之，由于每人多栽2棵树，一共可以多栽28棵树，这样，小组的人数可以求得。随之，树苗的棵数也可以求出。

(1)这个小组有多少人?

(13+15)÷(6-4)=28÷2=14(人)

(2)共有树苗多少棵?

4×14+13=56+13=69(棵)

或 6×14-15=84-15=69 (棵)

答：这个小组有14人，共有树苗69棵。

例2 分铅笔给儿童，如果每人分3支，则铅笔余下57支;如果每人分5支，铅笔还多余3支。求儿童多少人?铅笔多少支?

解：两种分配方法都有多余。可以根据所余支数的不同，找出两种分配方法共相差多少支铅笔。再根据每个人所得铅笔支数的差，即可求得儿童的人数。随之，铅笔的支数也可以求得。

(1)儿童人数：

(57-3)÷(5-3)=54÷2=27(人)

(2)铅笔支数：

3×27+57=81+57=138(支)

或 5×27+3=135+3=138 (支)

答：儿童27人，铅笔138支。

例3 学校在分配学生住宿时，原计划每间房里住4人，还有1间空房;后来又计划每间房里住5人，就能有3间空房。求学生宿舍多少间?住宿的学生多少人?

解：从住宿的学生人数来分析，第一次分配住宿的办法，说明学生还没有住满宿舍，有1间空房，也可以说还缺少4名学生;第二次分配住宿的办法，有3间空房，也可以说还缺少15名学生。两种分配方案，都住不满。根据所亏人数的不同，找出相差数，再根据每间房分配人数的差数，即可求出学生宿舍的间数。随之，住宿的学生人数也可以求得。

(1)学生宿舍间数：

(5×3-4×1)÷(5-4)=(15-4)÷1=11(间)

(2)住宿的学生人数：

4×(11-1) =40(人)

或　5×(11-3)=40 (人)

答：学生宿舍11间，住宿的学生40人。

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