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盛金公式

实系数一元三次方程的一种辅助算法

盛金公式只是实系数一元三次方程的一种辅助算法。

公式简介
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。1545年，意大利学者卡尔丹（Cardano，1501—1576，又译作卡尔达诺）发表了三次方程X^3+pX+q=0的求根公式，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。
一元三次方程应用广泛，用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
上世纪80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。
盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金公式简明易记、解题直观、准确高效。
特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常简洁漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。
范盛金发明的“一元三次方程的新求根公式与新判别法”于1989年发表在《海南师范学院学报》（自然科学版）第2期。
公式表述
一元三次方程
重根判别式
总判别式Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式1：
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式2：
其中 ， 。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：
其中
当Δ=B2－4AC<0时
盛金公式4：
其中 ， （A>0，－1
盛金判别法
当A=B=0时，方程有一个三重实根。
当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根。
当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。
当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：反之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
公式特点
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，（A≠0）。简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方）。盛金公式3手算解题效率高。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子（－B±（B2－4AC)^（1/2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
发表刊物
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,China. Vol. 2,No. 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .
盛金公式的推导
盛金公式的推导参见《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月）（编辑单位:海南师范学院编辑部;国内刊号:CN46-1014;定 价:0.80元;作 者:范盛金;出版日期:1989年12月20日:发行范围:全国公开发行）文献资料图片。
正确理解
学习“盛金公式解题法”要正确理解。
1、要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，不可分割。
例如：
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：
X1=－b/a+K；
X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，（A≠0）。
(注：根据盛金定理7，盛金公式3一定不存在A=0的值)。
这里A≠0，是指分母不能为0，因为分母为0无意义。
但并非A≠0的一切值都有可能出现在盛金公式3。
注意：A≠0与A≤0是不一样的。
例如：－5≠0，但是－5<0。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
根据盛金定理7，盛金公式3一定不会出现A=－5这样的值。
举一个具体的例子：
X3－2X2+3X+R=0
a=1，b=－2，c=3，d=R。
A=－5<0。
根据盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0。
可知，无论d=R为任何实数，这个方程必定有Δ>0。
如：取R=1，则方程为
X3－2X2+3X+1=0
a=1，b=－2，c=3，d=1。
A=－5；B=－15；C=15，Δ=525>0。
取R=±1，R=±2，……，这样继续下去，根据盛金定理5，这个方程永远都是Δ>0。
就是说，这个方程不可能出现Δ=0的值。显然，A=－5<0这样的值不可能出现在盛金公式3。
根据盛金定理5及盛金定理7，这很清楚：A=－5<0这样的值，只有可能出现在盛金公式2，而不可能出现在盛金公式3。
2、解题过程中要正确理解和掌握方法，有利于提高解题效率。
⑴、当A=B=0时，有Δ=0。但此时没有必要计算Δ=0的值。
根据盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
根据盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
所以，只要当A=B=0时，没有必要计算C与Δ的值，直接套用盛金公式1解题即可。
⑵、当Δ=0时，若B≠0，根据盛金判别法或盛金定理7，直接套用盛金公式3解题即可。
就是说，当A=B=0时，（有Δ=0），直接套用盛金公式1解题；当Δ=0时，若B≠0，直接套用盛金公式3解题。
总之，学习“盛金公式解题法”要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，才会收到更好的学习效果。
其实很简单，盛金公式、盛金判别法、盛金定理是有机联系的、是清晰的，在解题中直接套用（对号入座）就可以了。
解题举例
运用盛金公式解题的步骤：
1、写出系数a、b、c、d的值（以免当b=0时，误把c的值当b的值输入计算器）；
2、按顺序求出A、B、C、Δ的值；
3、根据盛金判别法套用相应的盛金公式即可得出正确结果。
举例：
（使用科学计算器辅助运算）
例1、解方程X3+5.4X2+9.72X+5.832=0
解：a=1，b=5.4，c=9.72，d=5.832。
A=0；B=0。
∵A=B=0，∴应用盛金公式1求解，得：
X1=X2=X3=－1.8。
例2、解方程2X3+11X2+182X+255=0，
解：a=2，b=11，c=182，d=255。
A=－971；B=－2588；C=24709，Δ=102667500。
∵Δ>0，∴应用盛金公式2求解。
Y1=27480.49167；Y2=－33314. 49167。
把有关值代入盛金公式2，得：
X1=－1.5；X2,3=－2±9i。
例3、解方程X3+5.5X2+9.92X+5.888=0
解：a=1，b=5.5，c=9.92，d=5.888。
A=0.49；B=1.568；C=1.2544，Δ=0。
∵Δ=0，∴应用盛金公式3求解。
K=3.2。
把有关值代入盛金公式3，得：
X1=－2.3；X2=X3=－1.6。
例4、解方程100X3－420X2+467X－105=0
解：a=100，b=－420，c=467，d=－105。
A=36300；B=－101640；C=85789，Δ<0。
∵Δ<0，∴应用盛金公式④求解。
θ=90°。
把有关值代入盛金公式④，得：
X1=3/10；X2=5/2；X3=7/5。
经用韦达定理检验，以上结果正确（过程略）。
例5、一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为67.4dm，且宽=高，满储水量为9539.712(dm)^3，立体对角线为1706.92dm，问：如何施工才能达到设计要求？
解：设取长、宽、高分别为X1dm、X2dm、X3dm，依题意：
X1+X2+X3=67.4；
X1X2X3=9539.712；
X12+X22+X32=1706.92。
解这个方程组。
根据韦达定理，得一元三次方程：
X3－67.4X2+1417.92X－9539.712=0
a=1，b=－67.4，c=1417.92，d=－9539.712。
A=289；B=－9710.4；C=81567.36，Δ=0。
根据盛金判别法，此方程有三个实根，其中两个相等。
应用盛金公式③求解。
K=－33.6。
把有关值代入盛金公式③，得：
X1=33.8（dm）；X2=X3=16.8（dm）。
经检验，结果正确。
∵ 宽=高，
∴ 应取长为33.8dm；宽=高=16.8dm来进行施工。
只要熟练操作科学计算器，就可方便运用盛金公式解任意实系数的一元三次方程。
代码实现
C++代码如下：
传入四个变量abcd，输出方程的解（仅输出不重复的实数解）
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