相似三角形判定定理

数学几何定理

相似三角形判定定理是几何学中用于判断两个三角形是否相似的基本定理，主要依据三角形的角度相等和边长成比例的特性。以下三种方法最常被使用且被收录进初中数学课本：角角相似（AA），即两角分别相等的两个三角形相似；边角边相似（SAS），即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；边边边相似（SSS），即三边成比例的两个三角形相似。对直角三角形，也可以用 HL（两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例）来判定相似，这些定理是解决几何问题和进行几何证明时的重要工具。

定理内容

相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比。

如图1，△ABC 和 △DEF 相似，写作“△ABC∽ △DEF”。对应边的比，因此△ABC与△DEF的相似比为，△DEF与△ABC的相似比为。

一般三角形的相似判定定理

1. 两角分别相等的两个三角形相似。（简称 AA）

例：在图 1 中，已知 ∠A = ∠D，∠B =∠E，可推出 △ABC ∽ △DEF。

2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。（简称 SAS）

例：在图 1 中，已知，∠B = ∠E，可推出 △ABC ∽ △DEF。

3. 三边成比例的两个三角形相似。（简称 SSS）

例：在图 1 中，已知，可推出 △ABC ∽ △DEF。

* 两个三角形有两边对应成比例，且其中一边所对的角相等（SSA），这两个三角形不一定相似。如图 2，∠B = ∠E，，但 △ABC 与 △DEF 不相似。

直角三角形的相似判定定理

如果两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简称 HL）如图 3，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中，∠C = 90◦，，则 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'。

定理证明

预备定理：平行线分线段成比例

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图 4，直线 // //，分别交直线 m，n 于点 A，B，C，D，E，F，则。

证明：

如图4，连接AE、BD、BF、CE，根据平行线的性质，可以得出以下结论：,从而可得：

根据等高三角形面积比等于底的比，可以得出：

通过等比性质，可以进一步推导出：

因此，该预备定理得证。

* 在初中教材中，该定理一般被视作基本事实。

AA证明

已知：如图5，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，求证：△ABC∽△A'B'C'。

证明：

在三角形ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，

过点D作BC的平行线，交AC于点E，则

∠ADE=∠B，∠AED=∠C。由于平行线分线段成比例（预备定理），有：

过点D作AC的平行线，交BC于点F，则：

又因为DE//BC，DF//AC，所以四边形DFCE是平行四边形，从而：DE=CF所以

综上所述，得出：

并且

故由相似三角形的定义（预备定理）可得

又因为∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B'

所以△ADE≌△A'B'C'，

所以△ABC∽△A'B'C'。

SAS证明

已知：如图6，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，，求证：△ABC∽△A'B'C'。

证明：

在△ABC的边AB（或其延长线上）截取AD=A'B'。

过点D作BC的平行线，交AC于点E。

根据平行线的性质，有∠B=∠ADE。

从而△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。

由相似三角形的性质，可以得出：

已知，以及AD=A'B'，因此：.由此可得：.

因为AC≠0，可以消去AC，得到：AE=A'C'.

又因为∠A=∠A'，根据SAS（边-角-边）全等条件，

可以得出△ADE≌△A'B'C'，

因此，根据全等三角形的对应角相等，有△ABC∽△A'B'C'。

SSS证明

已知：如图7，在△ABC和△A'B'C'中，，求证：△ABC∽△A'B'C'。

证明：

在△ABC的边AB和AC（或它们的延长线上）上分别截取AD=A'B'和AE=A'C'，然后连接DE。

由于，并且已知AD=A'B'和AE=A'C'，可以得出：

又因为∠BAC=∠DAE，根据SAS相似的条件，可以得出：

由此相似关系，可以得出：。

又因为且已知AD=A'B'，可以得出：.由此可得：

由于BC≠0，可以消去BC，得到：DE=B'C'。

因此，根据SAS（边-角-边）全等条件，可以得出：

由于全等三角形的对应角相等，可以得出：△ABC∽△A'B'C'.

HL证明

如图8，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90∘，，

求证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。

证明：

需设法证明，若设，则只需证明。

由勾股定理，得,。

所以

所以，于是Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。

相关定理

相似三角形性质定理

如图9，给定两个相似三角形，有如下结论：

1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。即：如果 △ABC ∽ △DEF ，则有：

∠A = ∠D, ∠B =∠E, ∠C = ∠F，。

其中，k 为相似比。

2. 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。即：如果△ABC ∽ △DEF ，相似比为 k，则有：

* 相似三角形判定定理与性质定理是一对互逆定理，判定定理侧重于确定两个三角形是否相似；而性质定理则是在已经确定两个三角形相似的前提下，描述它们之间的关系。

全等三角形判定定理

1. SSS：三边对应相等的两个三角形全等。

2. SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

3. ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

4. AAS：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。

5. HL：斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

* 相似三角形判定定理和全等三角形判定定理都用于比较两个三角形之间的关系，但目的不同。全等三角形判定定理则用于确认两个三角形形状相同且大小相等，即它们的对应边和对应角完全相等；相似三角形判定定理确定两个三角形是否形状相同（但大小不一定相同），即它们的对应角相等、对应边成比例。换句话说，全等三角形是相似三角形的特殊情况，所有全等三角形都是相似的，但相似三角形不一定全等。

定理推论

1. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2. 顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

3. 腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

4. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

5. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

6. 如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

7. 相似三角形具有传递性。

定理应用

相似三角形判定定理广泛应用于工程设计、测量、科学研究等多个方面。在实际测量中，通过测量易得的小型相似三角形的边长，借助比例关系，推算难以直接测量的大型相似三角形的边长。例如，在地形测绘中，测量人员可以利用相似三角形定理推算出山高、河宽等难以直接测量的距离。

在工程和建筑设计中，相似三角形的应用有助于保持结构的相似性和比例性。例如，在设计不同尺寸的建筑模型时，可以通过相似三角形定理确保各个模型保持相同的形状与比例，这对保证设计的一致性至关重要。

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