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相似性质

相似变换的一种特征

相似性质(similarity property)是指相似变换的一种特征，即图形经过任何相似变换都不改变的性质。例如，结合性、平行性、保角性等都是相似性质。

基本概念
平面上的变换如果对应线段A’B’与AB的比是个正的常数：
则这种变换叫做相似变换，常数k叫做相似比。
在相似变换下，如果图形 变为图形 ，则说图形 相似于图形 。
从相似变换的定义可以直接看出，移动不过是相似变换当相似比k等于1的特殊情形。显然位似变换是相似变换的特例。
相似性质介绍
相似变换具有下面的性质：
(1)相似变换 的逆变换 仍是相似变换。
事实上，设相似变换 的对应线段为AB和A’B’，相似比为k：
则逆变换 的对应线段为A'B’和AB，并且它是以k的倒数
为相似比的相似变换。
根据这个性质可知，如果图形 相似于 ，则 也相似于 。
(2) 两个相似变换 和 的积仍是一个相似变换。
事实上，设相似变换 把线段AB变为A1B1，相似比为k1；相似变换 把线段 变为 ，相似比为 。这时两个相似变换的积 把线段AB变为 ，而且
因此， 是以 为相似比的相似变换。所以，平面上所有相似变换构成一个群叫做相似变换群。
根据这个性质可知，如果图形 相似于 ， 相似于 ，则 相似于 。
其次，由上面两个性质可知，相似变换 是恒等变换，恒等变换把每个图形 变为本身，因此，每个图形 相似于本身。
(3) 在相似变换下，一条直线上的点，仍变到一条直线上，也就是直线变为直线。
事实上，设A、B、C是一条直线a上的三个点，并且点B在A与C之间，A’、B‘，C’是它们的对应点(图1)根据相似变换的定义：
这里k是相似比，由此得到，
因为，AB+BC=AC，
所以A'B'+B'C'=A'C'，
因此，点A‘、B’、C’也在一条直线上，并且点B’在A‘与C’之间。
根据这个性质可知，在相似变换下，半直线变为半直线，角变为角，任意三角形变为与其相似的三角形。
(4)在相似变换下，一条直线上的三个点A、B、C的简单比不变。
定义 一条直线上三个点A、B、C的简单比是，这个简单比常用记号(ABC)表示，A、B叫做基础点，C叫做分点，简单比与线段的分比略有不同，AB由分点C所得到的分比是，从有向线段来看，两者差一个符号。C内分AB时简单比是负值，外分时是正值。
设三点A、B、C在相似变换下，变为点A’、B‘、C‘，根据相似变换定义，
由此得到
也就是
(5) 在相似变换下，角的大小不变。
事实上，在相似变换下，任意三角形ABC变为相似三角形A‘B’C‘，且
因此三角形的角不变。
(6) 在相似变换下，对应三角形的面积比不变。
事实上，设三角形ABC变为A’B’C’，用h和h'表示这两个三角形的高(图2)根据上述性质，在相似变换下，h变为h'，因此，
这里，表示对应三角形的面积，由这个等式可知，三角形面积的比是相似变换的不变量。
我们看出，相似变换的不变性质和不变量是相似几何里的主要研究对象。
研究决定相似变换的条件，我们有：
定理 相似变换由不共线的三对对应点唯一确定。
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