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矩阵函数

定义域和值域都属于方阵的函数

矩阵函数的概念与通常的函数概念类似，不同在于矩阵函数的自变量和因变量都是n阶矩阵。矩阵函数一般用幂级数表示。矩阵函数与矩阵值函数是矩阵理论的重要内容，它们在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要应用。

定义
设复变幂级数的收敛半径是R，且在收敛域内，当矩阵A的谱半径，定义，并称为矩阵A的函数。
常用的矩阵函数
（1）矩阵指数函数：对于任意A ，有：
（2）正弦函数，是一种矩阵三角函数：对于任意A，有：
（3）余弦函数，是一种矩阵三角函数：对于任意A，有：
定理
1、定理1：假设，则有：
（1）；
（2）。
注意：因为矩阵的乘法不满足交换律， 因此矩阵函数不一定满足一般函数的所有性质。
2、定理2：设，且AB=BA，则有：
（1）；
（2）；
（3）。
3、根据定理 2 ，很容易证得下面结论：
推论 ：设，则有：
（1）；
（2）；
（3）。
求解矩阵函数的方法
利用矩阵标准型
用矩阵标准型求矩阵函数的具体步骤如下：
（1）设方阵A相似于对角阵，即
，其中矩阵内的值是A的n个特征值，则
（2）当A不能与对角阵相似时，则A必与Jordan标准型相似，设
最后
利用最小多项式
用最小多项式求矩阵函数的具体步骤如下：
第一步 计算矩阵A的最小多项式，确定其次数m及特征值；
第二步 设，确定出系数；
第三步 代入可求得。
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