短期平均成本曲线

微观经济学的常用术语

短期平均成本曲线是微观经济学的常用术语。平均总成本 ATC 等于平均变动成本 AVC 加平均固定成本 AFC，或等于总成本除以产量 Q. 某一产量水平 Q 上的平均总成本 ATC 是总成本曲线 TC 上相应点与原点连线的斜率。从原点作总成本曲线的切线，其切点是平均总成本 ATC 的最低点，因为切点的斜率最小。

对勾函数模型

短期平均成本 SAC 曲线是指不考虑生产要素变化的情况下，平均总成本 ATC 随产量 Q 的变化。此时固定成本 FC（包括厂房的房租、设备费、人员工资等）不变，边际成本 MC 随产量 Q 递增（人员加班工资、设备劳损折旧等）。考虑一个简单模型：MC(Q) = MC(0) + MC'(0) * Q，即边际成本 MC 随产量 Q 线性递增。此时由梯形面积公式得总成本

TC = FC + VC = FC + 0.5 * [MC(0) + MC(Q)] * Q.

于是平均总成本为

ATC = TC / Q = FC / Q + MC(0) + 0.5 * MC'(0) * Q.

短期平均成本 ATC 为产量 Q 的对勾函数（或称耐克函数）。根据均值不等式，最佳产量 Q* = sqrt [2 * FC / MC'(0)]. 此时的产量在摊薄固定成本和降低边际成本之间达到一个最佳的平衡。

与长期成本关系

长期来看，固定成本 FC 是可以随生产规模 n 变动的，而增加生产规模 n 的好处则是可以减缓边际成本 MC 的递增。长期平均成本 LAC 和短期平均成本 SAC 的区别就是：前者为生产规模 n 适应产量 Q 条件下的 ATC 曲线，后者为生产规模 n 保持不变条件下的 ATC 曲线。因此 LAC 曲线也是不同规模 n 下的各 SAC 曲线的下包络线。

考虑一个模型。设固定成本 FC 与规模 n 的关系为 FC = a + bn + cn2. 比方说，设这里的 n 代表厂房里的生产设备台数，或流水线条数等。由于管理和运行维护等问题，每增加一条流水线增加的固定成本 dFC / dn 是随 n 递增的。如果一条流水线的边际成本仍设为线性模型 MC(Q) = MC(0) + MC'(0) * Q，那么 n 条流水线，每条流水线只承担 Q/n 的产量以后，可变成本降低为

VC = 0.5 * [MC(0) + MC(Q/n)] * (Q/n) * n = MC(0) * Q + 0.5 * MC'(0) * Q2 / n.

于是 n 条流水线的平均总成本为

ATC = (FC + VC) / Q = (a + bn + cn2) / Q + MC(0) + 0.5 * MC'(0) * Q / n.

固定生产规模 n 时，短期平均成本 SAC 曲线仍为产量 Q 的对勾函数。最佳产量 Q* = sqrt [2n * (a + bn + cn2) / MC'(0)]. 根据均值不等式放缩以后，平均总成本满足

ATC ≥ MC(0) + sqrt [2 * MC'(0) * (a/n + b + cn)].

长期平均成本 LAC 曲线随生产规模 n 的变化也包含一个对勾函数。最佳规模 n* = sqrt (a / c). 当生产规模 n < n* 时，表现出规模经济，即扩大规模 n 有利于进一步降低生产成本；当生产规模 n > n* 时，表现出规模不经济，即进一步扩大规模 n 造成管理成本增加，平均总成本 ATC 上升。

总结

根据以上长短期成本的两个对勾函数模型，有如下定性结论：

1、短期平均成本 SAC 曲线是指在生产规模保持不变时，平均总成本 ATC 与产量 Q 的关系，呈现先降后升趋势，主要矛盾是摊薄固定成本和降低边际成本之间的平衡；

2、长期平均成本 LAC 曲线是指在生产规模可变化时，平均总成本 ATC 与产量 Q 的关系，也呈现先降后升趋势，主要矛盾是摊薄边际成本和降低管理成本之间的平衡；

3、长期平均成本 LAC 曲线是短期平均成本 SAC 曲线的下包络线；

4、生产规模小于最佳规模时，企业生产表现出规模经济；大于最佳规模时，企业生产表现出规模不经济。

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