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离差平方和

数学名词

离差平方和（Sum of Squares of Deviations）是各项与平均项之差的平方的总和。定义是设x是一个随机变量，令η=x-Ex, 则 称 η为x的离差，它反映了x与其数学期望Ex的偏离程度。

基本定义
设x是一个随机变量，令η=x-Ex, 则 称 η为x的离差.它反映了x与其数学期望Ex的偏离程度.
与方差的关系
离差平方和与方差的关系
根据数学期望的性质，离差的数学期望总是等于0，没有实用价值
通常用随机变量x离差的平方的数学期望来描述随机变量x的分布的分散程度，并把其称为x的方差，记作Dx
总体方差，样本方差
样本计算
离差平方和的样本计算
一般用计算机计算。以excel为例：
先用Varp计算总体方差，然后求出离差平方和
平方和的分解
通过对离差平方和的分解进行方差分析。统计学的实践表明, 于某一特性量经过多次试验的结果,一 般不会是同一数值, 是彼此有差异, 这种差异反映了这试验受各种条件( 称为因素) 制约. 离差平方和就反映了这种制约因素引起的差异大小. 为解决此问题, 英国统计学家Fisher提 出了方差分析的方法, 基本思想是将总的离差平方和分解为几个部分, 每一部分反映了方差的一种来源, 然后利用F分布进行检验 .
离差平方和的分解类似于物理学的平行轴定理
单因素方差分析，离差平方和的分解：
其中代表误差平方和，代表总离差平方和，代表处理A的不同水平间的离差平方和
将所有数据用Varp求方差，
A的每个水平都有若干个数据，假设A有k个水平，对这k个组求各自的离差平方和，得到组内误差：
各个组的误差相加得到总的误差平方和：
最后根据求出A的处理平方和
这是方差分析的第一步。
如果每个分组的数据一样多，也可以这样做：
求出每个组的平均值，对这些平均值求方差，再乘以N，得到
试想，如果每个分组只有一个数据，此时没有组内平方和，所以，分组平均值的离差平方和就是。
对于两因素无交互的方差分析（假设共有N个数据）
和单因素相同，求出
先按照A的水平分组，求出每个组的平均值，对这些平均值求方差，再乘以N，得到
同理得到
最后求
接下来的F检验参见方差分析。
可以借助EXCEL 电子表格 SPSS、SAS进行方差分析.
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