搜索

离散傅里叶变换

信号分析基本方法

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。

定义
离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
物理意义
（1）物理意义
设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义.
基本性质
1.线性性质
如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B为常数，取N=max[N1,N2]，则Y(N）的N点DFT为
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循环移位特性
设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为
Y(N)=X((N+M))下标nR（N）
式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)
隐含的周期性
DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性
(1)从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列
(2)从DFT与DFS之间的关系考虑。，当不限定N时，具有周期性
(3)从WN来考虑，当不限定N时，具有周期性
用DFT对模拟信号进行谱分析
在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列
然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限宽的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的带宽小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度
模拟信号xn(t)的傅里叶变换对为
用DFT方法计算这对变换对的方法如下：
（a）对xn(t)以T为间隔进行采样，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于
t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}
因此得到
X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T
x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω
（b）将序列x(n)= xn(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列
X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T
由于时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T
（c）为了数值计算，频域上也要抽样，即在频域的一个周期中取N个样点，fs=NF0,每个样点间隔为F0，频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时间周期为T0=1/F0。因此有
Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞} dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0
T0=1/F0=N/fs=NT
Ω0=2ΠF0
Ω0T=Ω0/fs=2π/N
X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT
判断方法
判断系统是否为最小相位系统的简单方法是：如果两个系统的传递函数分子和分母的最高次数都分别是m，n，则频率ω趋于无穷时，两个系统的对数幅频曲线斜率均为－20（n－m）dB/dec但对数相频曲线却不同：最小相位系统趋于－90°（n－m），而非最小相位系统却不这样。
注意事项
（1）时域和频域混叠
根据采样定理，只有当采样频率大于信号最高频率的两倍时，才能避免频域混叠。实际信号的持续时间是有限的，因而从理论上来说，其频谱宽度是无限的，无论多 大的采样频率也不能满足采样定理。但是超过一定范围的高频分量对信号已没有多大的影响，因而在工程上总是对信号先进行低通滤波
另一方面，DFT得到的频率函数也是离散的，其频域抽样间隔为F0，即频率分辨力。为了对全部信号进行采样，必须是抽样点数N满足条件
N=T0/T=fs/F0
从以上两个公式来看，信号最高频率分量fc和频率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，则抽样间隔T就要减小，而FS就要增加，若在抽样点数N不变的情况下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加记录长度内的点数N，在fc和F0给定的条件下，N必须满足
N>2fc/F0
（2）截断效应
在实际中遇到的序列x(n)，其长度往往是有限长，甚至是无限长，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截断为长度为N的有限长序列
Y(n)=x(n).RN(n)
根据频率卷积定理
Y(e)=1/2Πx(e)*H(e)
|ω|<2π/N叫做主瓣，其余部分叫做旁瓣
（3）频谱泄露
原序列x(n)的频谱是离散谱线，经截断后使每根谱线都带上一个辛格谱，就好像使谱线向两边延申，通常将这种是遇上的截断导致频谱展宽成为泄露，泄露使得频谱变得模糊，分辨率降低
（4）谱间干扰
因截断使主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间的干扰，成为谱间干扰，这不仅影响频谱分辨率，严重时强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线。
截断效应是无法完全消除的，只能根据要求折中选择有关参量。
（5）栅栏效应
N点DFT是在频率区间[0,2π]上对信号的频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散点X(k)，且它们之限制为基频F0的整数倍，这部好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象，只能在离散点的地方看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮拦，所以称为栅栏效应。
减小栅栏效应，可以在时域数据末端增加一些零值点，是一个周期内的点数增加
（6）信号长度的选择
在时域内对信号长度的选择会影响DFT运算的正确性。实际的信号往往是随机的，没有确定的周期，因此在实际中，应经可能估计出几个典型的、带有一定周期性的信号区域进行频谱分析，然后在取其平均值，从而得到合理的结果。
计算机代码
全国各地天气预报查询

上海市

  • 市辖区

    • 云南省

  • 临沧市

    • 云南省

  • 丽江市

    • 云南省

  • 保山市

    • 云南省

  • 大理白族自治州

    • 云南省

  • 德宏傣族景颇族自治州

    • 云南省

  • 怒江傈僳族自治州

    • 云南省

  • 文山壮族苗族自治州

    • 云南省

  • 昆明市

    • 云南省

  • 昭通市

    • 云南省

  • 普洱市

    • 云南省

  • 曲靖市

    • 云南省

  • 楚雄彝族自治州

    • 云南省

  • 玉溪市

    • 云南省

  • 红河哈尼族彝族自治州

    • 云南省

  • 西双版纳傣族自治州

    • 云南省

  • 迪庆藏族自治州

    • 内蒙古自治区

  • 乌兰察布市

    • 内蒙古自治区

  • 乌海市

    • 内蒙古自治区

  • 兴安盟

    • 内蒙古自治区

  • 包头市

    • 内蒙古自治区

  • 呼伦贝尔市

    • 内蒙古自治区

  • 呼和浩特市

    • 内蒙古自治区

  • 巴彦淖尔市

    • 内蒙古自治区

  • 赤峰市

    • 内蒙古自治区

  • 通辽市

    • 内蒙古自治区

  • 鄂尔多斯市

    • 内蒙古自治区

  • 锡林郭勒盟

    • 内蒙古自治区

  • 阿拉善盟

    • 北京市

  • 市辖区

    • 吉林省

  • 吉林市

    • 吉林省

  • 四平市

    • 吉林省

  • 延边朝鲜族自治州

    • 吉林省

  • 松原市

    • 吉林省

  • 白城市

    • 吉林省

  • 白山市

    • 吉林省

  • 辽源市

    • 吉林省

  • 通化市

    • 吉林省

  • 长春市

    • 四川省

  • 乐山市

    • 四川省

  • 内江市

    • 四川省

  • 凉山彝族自治州

    • 四川省

  • 南充市

    • 四川省

  • 宜宾市

    • 四川省

  • 巴中市

    • 四川省

  • 广元市

    • 四川省

  • 广安市

    • 四川省

  • 德阳市

    • 四川省

  • 成都市

    • 四川省

  • 攀枝花市

    • 四川省

  • 泸州市

    • 四川省

  • 甘孜藏族自治州

    • 四川省

  • 眉山市

    • 四川省

  • 绵阳市

    • 四川省

  • 自贡市

    • 四川省

  • 资阳市

    • 四川省

  • 达州市

    • 四川省

  • 遂宁市

    • 四川省

  • 阿坝藏族羌族自治州

    • 四川省

  • 雅安市

    • 天津市

  • 市辖区

    • 宁夏回族自治区

  • 中卫市

    • 宁夏回族自治区

  • 吴忠市

    • 宁夏回族自治区

  • 固原市

    • 宁夏回族自治区

  • 石嘴山市

    • 宁夏回族自治区

  • 银川市

    • 安徽省

  • 亳州市

    • 安徽省

  • 六安市

    • 安徽省

  • 合肥市

    • 安徽省

  • 安庆市

    • 安徽省

  • 宣城市

    • 安徽省

  • 宿州市

    • 安徽省

  • 池州市

    • 安徽省

  • 淮北市

    • 安徽省

  • 淮南市

    • 安徽省

  • 滁州市

    • 安徽省

  • 芜湖市

    • 安徽省

  • 蚌埠市

    • 安徽省

  • 铜陵市

    • 安徽省

  • 阜阳市

    • 安徽省

  • 马鞍山市

    • 安徽省

  • 黄山市

    • 山东省

  • 东营市

    • 山东省

  • 临沂市

    • 山东省

  • 威海市

    • 山东省

  • 德州市

    • 山东省

  • 日照市

    • 山东省

  • 枣庄市

    • 山东省

  • 泰安市

    • 山东省

  • 济南市

    • 山东省

  • 济宁市

    • 山东省

  • 淄博市

    • 山东省

  • 滨州市

    • 山东省

  • 潍坊市

    • 山东省

  • 烟台市

    • 山东省

  • 聊城市

    • 山东省

  • 菏泽市

    • 山东省

  • 青岛市

    • 山西省

  • 临汾市

    • 山西省

  • 吕梁市

    • 山西省

  • 大同市

    • 山西省

  • 太原市

    • 山西省

  • 忻州市

    • 山西省

  • 晋中市

    • 山西省

  • 晋城市

    • 山西省

  • 朔州市

    • 山西省

  • 运城市

    • 山西省

  • 长治市

    • 山西省

  • 阳泉市

    • 广东省

  • 东莞市

    • 广东省

  • 中山市

    • 广东省

  • 云浮市

    • 广东省

  • 佛山市

    • 广东省

  • 广州市

    • 广东省

  • 惠州市

    • 广东省

  • 揭阳市

    • 广东省

  • 梅州市

    • 广东省

  • 汕头市

    • 广东省

  • 汕尾市

    • 广东省

  • 江门市

    • 广东省

  • 河源市

    • 广东省

  • 深圳市

    • 广东省

  • 清远市

    • 广东省

  • 湛江市

    • 广东省

  • 潮州市

    • 广东省

  • 珠海市

    • 广东省

  • 肇庆市

    • 广东省

  • 茂名市

    • 广东省

  • 阳江市

    • 广东省

  • 韶关市

    • 广西壮族自治区

  • 北海市

    • 广西壮族自治区

  • 南宁市

    • 广西壮族自治区

  • 崇左市

    • 广西壮族自治区

  • 来宾市

    • 广西壮族自治区

  • 柳州市

    • 广西壮族自治区

  • 桂林市

    • 广西壮族自治区

  • 梧州市

    • 广西壮族自治区

  • 河池市

    • 广西壮族自治区

  • 玉林市

    • 广西壮族自治区

  • 百色市

    • 广西壮族自治区

  • 贵港市

    • 广西壮族自治区

  • 贺州市

    • 广西壮族自治区

  • 钦州市

    • 广西壮族自治区

  • 防城港市

    • 新疆维吾尔自治区

  • 乌鲁木齐市

    • 新疆维吾尔自治区

  • 伊犁哈萨克自治州

    • 新疆维吾尔自治区

  • 克孜勒苏柯尔克孜自治州

    • 新疆维吾尔自治区

  • 克拉玛依市

    • 新疆维吾尔自治区

  • 博尔塔拉蒙古自治州

    • 新疆维吾尔自治区

  • 吐鲁番市

    • 新疆维吾尔自治区

  • 和田地区

    • 新疆维吾尔自治区

  • 哈密市

    • 新疆维吾尔自治区

  • 喀什地区

    • 新疆维吾尔自治区

  • 塔城地区

    • 新疆维吾尔自治区

  • 巴音郭楞蒙古自治州

    • 新疆维吾尔自治区

  • 昌吉回族自治州

    • 新疆维吾尔自治区

  • 自治区直辖县级行政区划

    • 新疆维吾尔自治区

  • 阿克苏地区

    • 新疆维吾尔自治区

  • 阿勒泰地区

    • 江苏省

  • 南京市

    • 江苏省

  • 南通市

    • 江苏省

  • 宿迁市

    • 江苏省

  • 常州市

    • 江苏省

  • 徐州市

    • 江苏省

  • 扬州市

    • 江苏省

  • 无锡市

    • 江苏省

  • 泰州市

    • 江苏省

  • 淮安市

    • 江苏省

  • 盐城市

    • 江苏省

  • 苏州市

    • 江苏省

  • 连云港市

    • 江苏省

  • 镇江市

    • 江西省

  • 上饶市

    • 江西省

  • 九江市

    • 江西省

  • 南昌市

    • 江西省

  • 吉安市

    • 江西省

  • 宜春市

    • 江西省

  • 抚州市

    • 江西省

  • 新余市

    • 江西省

  • 景德镇市

    • 江西省

  • 萍乡市

    • 江西省

  • 赣州市

    • 江西省

  • 鹰潭市

    • 河北省

  • 保定市

    • 河北省

  • 唐山市

    • 河北省

  • 廊坊市

    • 河北省

  • 张家口市

    • 河北省

  • 承德市

    • 河北省

  • 沧州市

    • 河北省

  • 石家庄市

    • 河北省

  • 秦皇岛市

    • 河北省

  • 衡水市

    • 河北省

  • 邢台市

    • 河北省

  • 邯郸市

    • 河南省

  • 三门峡市

    • 河南省

  • 信阳市

    • 河南省

  • 南阳市

    • 河南省

  • 周口市

    • 河南省

  • 商丘市

    • 河南省

  • 安阳市

    • 河南省

  • 平顶山市

    • 河南省

  • 开封市

    • 河南省

  • 新乡市

    • 河南省

  • 洛阳市

    • 河南省

  • 漯河市

    • 河南省

  • 濮阳市

    • 河南省

  • 焦作市

    • 河南省

  • 省直辖县级行政区划

    • 河南省

  • 许昌市

    • 河南省

  • 郑州市

    • 河南省

  • 驻马店市

    • 河南省

  • 鹤壁市

    • 浙江省

  • 丽水市

    • 浙江省

  • 台州市

    • 浙江省

  • 嘉兴市

    • 浙江省

  • 宁波市

    • 浙江省

  • 杭州市

    • 浙江省

  • 温州市

    • 浙江省

  • 湖州市

    • 浙江省

  • 绍兴市

    • 浙江省

  • 舟山市

    • 浙江省

  • 衢州市

    • 浙江省

  • 金华市

    • 海南省

  • 三亚市

    • 海南省

  • 三沙市

    • 海南省

  • 儋州市

    • 海南省

  • 海口市

    • 海南省

  • 省直辖县级行政区划

    • 湖北省

  • 十堰市

    • 湖北省

  • 咸宁市

    • 湖北省

  • 孝感市

    • 湖北省

  • 宜昌市

    • 湖北省

  • 恩施土家族苗族自治州

    • 湖北省

  • 武汉市

    • 湖北省

  • 省直辖县级行政区划

    • 湖北省

  • 荆州市

    • 湖北省

  • 荆门市

    • 湖北省

  • 襄阳市

    • 湖北省

  • 鄂州市

    • 湖北省

  • 随州市

    • 湖北省

  • 黄冈市

    • 湖北省

  • 黄石市

    • 湖南省

  • 娄底市

    • 湖南省

  • 岳阳市

    • 湖南省

  • 常德市

    • 湖南省

  • 张家界市

    • 湖南省

  • 怀化市

    • 湖南省

  • 株洲市

    • 湖南省

  • 永州市

    • 湖南省

  • 湘潭市

    • 湖南省

  • 湘西土家族苗族自治州

    • 湖南省

  • 益阳市

    • 湖南省

  • 衡阳市

    • 湖南省

  • 邵阳市

    • 湖南省

  • 郴州市

    • 湖南省

  • 长沙市

    • 甘肃省

  • 临夏回族自治州

    • 甘肃省

  • 兰州市

    • 甘肃省

  • 嘉峪关市

    • 甘肃省

  • 天水市

    • 甘肃省

  • 定西市

    • 甘肃省

  • 平凉市

    • 甘肃省

  • 庆阳市

    • 甘肃省

  • 张掖市

    • 甘肃省

  • 武威市

    • 甘肃省

  • 甘南藏族自治州

    • 甘肃省

  • 白银市

    • 甘肃省

  • 酒泉市

    • 甘肃省

  • 金昌市

    • 甘肃省

  • 陇南市

    • 福建省

  • 三明市

    • 福建省

  • 南平市

    • 福建省

  • 厦门市

    • 福建省

  • 宁德市

    • 福建省

  • 泉州市

    • 福建省

  • 漳州市

    • 福建省

  • 福州市

    • 福建省

  • 莆田市

    • 福建省

  • 龙岩市

    • 西藏自治区

  • 山南市

    • 西藏自治区

  • 拉萨市

    • 西藏自治区

  • 日喀则市

    • 西藏自治区

  • 昌都市

    • 西藏自治区

  • 林芝市

    • 西藏自治区

  • 那曲市

    • 西藏自治区

  • 阿里地区

    • 贵州省

  • 六盘水市

    • 贵州省

  • 安顺市

    • 贵州省

  • 毕节市

    • 贵州省

  • 贵阳市

    • 贵州省

  • 遵义市

    • 贵州省

  • 铜仁市

    • 贵州省

  • 黔东南苗族侗族自治州

    • 贵州省

  • 黔南布依族苗族自治州

    • 贵州省

  • 黔西南布依族苗族自治州

    • 辽宁省

  • 丹东市

    • 辽宁省

  • 大连市

    • 辽宁省

  • 抚顺市

    • 辽宁省

  • 朝阳市

    • 辽宁省

  • 本溪市

    • 辽宁省

  • 沈阳市

    • 辽宁省

  • 盘锦市

    • 辽宁省

  • 营口市

    • 辽宁省

  • 葫芦岛市

    • 辽宁省

  • 辽阳市

    • 辽宁省

  • 铁岭市

    • 辽宁省

  • 锦州市

    • 辽宁省

  • 阜新市

    • 辽宁省

  • 鞍山市

    • 重庆市

  • 县

    • 重庆市

  • 市辖区

    • 陕西省

  • 咸阳市

    • 陕西省

  • 商洛市

    • 陕西省

  • 安康市

    • 陕西省

  • 宝鸡市

    • 陕西省

  • 延安市

    • 陕西省

  • 榆林市

    • 陕西省

  • 汉中市

    • 陕西省

  • 渭南市

    • 陕西省

  • 西安市

    • 陕西省

  • 铜川市

    • 青海省

  • 果洛藏族自治州

    • 青海省

  • 海东市

    • 青海省

  • 海北藏族自治州

    • 青海省

  • 海南藏族自治州

    • 青海省

  • 海西蒙古族藏族自治州

    • 青海省

  • 玉树藏族自治州

    • 青海省

  • 西宁市

    • 青海省

  • 黄南藏族自治州

    • 黑龙江省

  • 七台河市

    • 黑龙江省

  • 伊春市

    • 黑龙江省

  • 佳木斯市

    • 黑龙江省

  • 双鸭山市

    • 黑龙江省

  • 哈尔滨市

    • 黑龙江省

  • 大兴安岭地区

    • 黑龙江省

  • 大庆市

    • 黑龙江省

  • 牡丹江市

    • 黑龙江省

  • 绥化市

    • 黑龙江省

  • 鸡西市

    • 黑龙江省

  • 鹤岗市

    • 黑龙江省

  • 黑河市

    • 黑龙江省

  • 齐齐哈尔市