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稠密集

数学术语

在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间X及其子集A，如果对于X中任一点x，x的任一邻域同A的交集不为空，则A称为在X中稠密。直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好地逼近，则称A在X中稠密。

定义
在度量空间(E,d)中，也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时，在X中A的闭包是A与A中元素的所有数列极限（它的极限点）的集合的并集，
那么当
A在X中是稠密的。即A在X中稠密当且仅当A的闭包是X。
注意 。如果 是一个完备度量空间X中稠密开集上的序列，则 在X上依然稠密。这个事实与贝尔纲定理中的一个形式等价。
性质
（1）A在X中稠密的充要条件是，对于任意一个x∈X，在x的任何邻域内都有A的点。这条性质有时也被作为稠密集的另一种定义。
必要性：因为A在X中稠密，所以，所以。于是根据闭包的性质，x的任何邻域与A的交集都不空，即x的任何邻域内都有A的点。反过来推导即可证明充分性。
（2）若A在X中稠密，则对于任意一个x∈X，在A中都能找到一个点列{xn}，使得{xn}收敛于x。
证明：，即x要么是A的内点，要么是A的边界点。若x是内点，因为内点必是聚点，于是根据聚点的定义，存在某个各项互异的点列{xn}，使得{xn}收敛于x，命题得证。若x是边界点，因为边界点可能是聚点，也可能是孤立点，又分为两种情况。若x是边界点中的聚点，则命题得证。若x是边界点中的孤立点，由孤立点的定义，x∈A，于是可取常数列{x}，而常数列总是收敛的。
例子
1.每一拓扑空间是其自身的稠密集。
2.有理数域和无理数域是实数域中的稠密集（在通常拓扑意义下）。
3.度量空间M是其完备集γM中的稠密集。
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