稳定流形

微分动力系统的基本概念

稳定流形(stable manifold)是微分动力系统的基本概念，它是微分动力系统研究的重要内容。稳定与不稳定流形是动力系统的不动点或周期轨附近当时间趋于无穷时会趋于该轨的点的集合。按时间趋于正无穷或负无穷可分别得到稳定流形和不稳定流形。稳定与不稳定流形的概念可以从不动点或周期轨推广到任意一点，从而得到双曲集的重要概念。

基本介绍

稳定流形和不稳定流形在结构稳定性、Ω稳定性以及分歧理论等许多课题的研究中起着十分重要的作用，稳定流形与不稳定流形的方法是当前研究微分动力系统结构稳定性等问题的三个主要方法(即泛函分析法、稳定流形法以及典范方程组法)之一。稳定流形本身的理论也是微分动力系统研究的重要内容，作为稳定流形推广的稳定集也在拓扑动力系统的研究中发挥着重要的作用。

所谓一点的稳定流形，是指在同步意义下正半轨和过点的正半轨具有相同的极限性质的那些点集，该点集构成系统所在相空间——微分流形的子流形。

稳定集与不稳定集

设是一度量空间，是同胚，对任意，集合

分别称为在点处的稳定集和不稳定集。对任意，集合

分别称为在点处(尺度为ε的)局部稳定集和局部不稳定集。明显的有

并且对任意，有

对于连续流，有类似的定义如下：设是M上的连续流，对任意，集合

称为φ在点处的稳定集。类似地，分别称为φ在点处的不稳定集、(尺度为ε的)局部稳定集和局部不稳定集。

记为φ过点的轨道，集合

分别称为φ的过点轨道的稳定集和不稳定集。显然，若是同胚 (连续流φ)的不动点，则与与分别是由以为ω极限集和以为α极限集的点组成；若是φ的周期轨道，则和分别是由以为ω极限集和以为α极限集的点组成。

稳定流形定理

设M是黎曼流形，是微分同胚，是的紧致双曲不变集，海尔士(Hirsch，M.W.)和皮尤夫(Pugh，C.)证明了重要的稳定流形及不稳定流形定理：若是由的双曲性所决定的连续直和分解，则存在ε>0，使得对任意的，局部稳定集是与切于x的嵌入k维圆盘(这里 )；局部不稳定集是与切于x的嵌入维圆盘(这里 )，并且，当在中变化时，这两族圆盘分别依变化而连续变化。该定理表明：局部稳定集和局部不稳定集都是嵌入子流形，因而稳定集和不稳定集是浸入子流形，这样一来，就有理由称局部稳定集和局部不稳定集为局部稳定流形和局部不稳定流形，对M上的向量场情形，其稳定流形与不稳定流形定理的内容与微分同胚情形完全类似，作为特殊情况，当仅由一个不动点(奇点)组成时，这就是双曲不动点(双曲奇点)的稳定流形与不稳定流形定理。例如，设是巴拿赫空间，是双曲线性映射，是由A决定的直和分解，于是有

若令，则

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