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空间角度

异面直线所成角

空间角度（Space angle），把立体几何学的异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，统称为空间角度。

异面直线所成角
定义
过空间一点，作分别平行于两条异面直线的相交直线所成的锐角或直角，叫异面直线所成角。
范围
异面直线所成角的范围是（0，π/2）.
求法
（1）定义法
也叫平移法。按照异面直线所成角的定义，平移一条直线或平移两条直线。转化成相交直线所成角来求。然后，解三角形求角。
（2）向量法
转化成两异面直线的方向向量的夹角或其补角。即用夹角公式
直线与平面成角
定义
当直线是平面的斜线（相交但不垂直）时，斜线与其在平面的射影的夹角，叫直线与平面所成的角。
规定：当直线在平面内或直线与平面平行时，直线与平面所成角为0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°.
范围
直线与平面所成角的范围是[0，π/2].
求法
（1）定义法
按照直线与平面所成角的定义。一般通过面的垂线，确定斜线射影。转化成斜线与射影的夹角。然后，解三角形求角。
（2）法向量法
1°转化成平面的法向量，与斜线的方向向量所成角的余角，或补角的余角。即用公式
sin<向量n，向量b>=|n·b|/|n||b|.
2°转化成斜线的方向向量, 与斜线射影方向向量所成角，或补角。即用公式
cos<向量a，向量a′>=(a·a′)/|a|| a′|.
平面与平面成角
平面与平面所成的角，是用二面角来描述的。
定义
（1）一条直线把平面分成两部分，每部分叫半平面。
（2）从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面。
（3）垂直于棱的平面，与二面角的两个面相交，得两条射线，这两条射线所成的角，叫二面角的平面角。
（4）二面角的度量
二面角的大小，用平面角来度量。平面角为55°，则称二面角为55°。反之亦然。
（5）平面与平面所成的角
如果把二面角的两个面延展成两个平面，那么两个平面相交的唯一的交线就是二面角的棱。这时二面角的平面角或其补角的大小，是平面与平面所成的角的大小。
范围
二面角的范围是[0，π]。
求法
（1）三垂线法
用三垂线定理或逆定理，得两条垂直于棱的直线。从而得平面角。然后解三角形求角。
此法使用频率最高。
（2）垂面法
也叫定义法。在棱上选一特殊点，过这点作棱的垂面，得平面角。然后解三角形求角。 （3）垂线法
在棱上选一特殊点，过这点在两个面内分别作棱的垂线，得平面角。然后解三角形求角。当棱为两个等腰三角形公共边时，如求正棱锥侧面与底面所成角时，常用此法。
（4）射影面积法
设平面角为θ，则cosθ=S′/S
（5）向量法
转化成二面角的两个面的法向量所成角或其补角。即用公式
cos<向量n1，向量n2>=(n1·n2)/|n1||n2|.
补充说明
1.空间角的定义体现了空间问题平面化的数学思想。把空间的角转化为相交直线（如异面直线所成角、直线与平面所成角）或两条射线（如二面角的平面角）所成角。
2.空间角的概念，是立体几何计算题的证明要点。当用传统的演绎推理法求上述角时，必须详尽写明所作的辅助直线、辅助平面；必须按照空间角的定义进行证明。然后计算。然而，用解析法和向量法没有上述要求。
3. 空间的角包括平面几何的相交直线所成的角、平行直线所成的角。
定义
（1）一条直线把平面分成两部分，每部分叫半平面。
（2）从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面。
（3）垂直于棱的平面，与二面角的两个面相交，得两条射线，这两条射线所成的角，叫二面角的平面角。
（4）二面角的度量
二面角的大小，用平面角来度量。平面角为55°，则称二面角为55°。反之亦然。
（5）平面与平面所成的角
如果把二面角的两个面延展成两个平面，那么两个平面相交的唯一的交线就是二面角的棱。这时二面角的平面角或其补角的大小，是平面与平面所成的角的大小。
性质
1.空间角的定义体现了空间问题平面化的数学思想。把空间的角转化为相交直线（如异面直线所成角、直线与平面所成角）或两条射线（如二面角的平面角）所成角。
2.空间角的概念，是立体几何计算题的证明要点。当用传统的演绎推理法求上述角时，必须详尽写明所作的辅助直线、辅助平面；必须按照空间角的定义进行证明。然后计算。然而，用解析法和向量法没有上述要求。
3. 空间的角包括平面几何的相交直线所成的角、平行直线所成的角。
应用
（1）三垂线法
用三垂线定理或逆定理，得两条垂直于棱的直线。从而得平面角。然后解三角形求角。
此法使用频率最高。
（2）垂面法
也叫定义法。在棱上选一特殊点，过这点作棱的垂面，得平面角。然后解三角形求角。 （3）垂线法
在棱上选一特殊点，过这点在两个面内分别作棱的垂线，得平面角。然后解三角形求角。当棱为两个等腰三角形公共边时，如求正棱锥侧面与底面所成角时，常用此法。
（4）射影面积法
设平面角为θ，则cosθ=S′/S
（5）向量法
转化成二面角的两个面的法向量所成角或其补角。即用公式
cos<向量n1，向量n2>=(n1·n2)/|n1||n2|.
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