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空集公理

数学术语

在集合论中，空集公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。常常用它和替换公理模式证明分离公理模式（证明需要排中律），而不把后者当作一条公理。后者和“至少存在一个集合”的假设一起又能推出空集公理。它的表述为：“存在一个集合x，它没有任何元素”。

形式陈述
在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读做：
换句话说:
有着一个集合使得没有集合是它的元素。
解释
我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的，我们可以简单名之为空集，并将其标记为 {} 或 。因此这个公理的本质是：
空集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在任何可替代的集合论的公理化中。
在 ZF 的某些陈述版本中，空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说，有不预设空集存在的另一种公理版本。还有，以一常量符号表示空集的话，借此可以把其他 ZF 公理重写成更简洁的版本；那么无穷公理也会用到这个符号而不要求它是空的，尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。
而且，在那些不包含无穷集合的集合论中，空集公理仍是需要的。就是说，使用分离公理模式，声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。
定义
空集公理是集合论的ZF公理系统中的一条公理，常常用它和替换公理模式证明分离公理模式（证明需要排中律），而不把后者当作一条公理。后者和“至少存在一个集合”的假设一起又能推出空集公理。它的表述为：“存在一个集合x，它没有任何元素”。
其实，空集公理通常在无穷公理中被重复了，后者构造了一个集合，其中有一元素为空集。但是，有些公理化中，无穷公理所构造的集合并不被要求包含空集（例如包含一个任意元素），此时空集公理是必要的。有时可能要研究有限的集合模型，这时无穷公理被去除，然而空集公理仍然有效。
空集公理在替换公理模式证明分离公理模式时，起到了辅助的作用，只有所求集合是空集时，因为按通常的替换公理模式的描述无法证明，才应用空集公理。如果替换公理模式不要求其中的F(z)对任意z有定义，而是要求有定义时才考虑F(z)在y中的问题，那么可以单独证明分离公理模式，而后者在任意一种无穷公理的形式（只要保证集合存在）下可以推出空集公理。
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