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等价关系

数学专业术语

等价关系定义为：设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

定义
定义1
设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：
自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R
对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R
传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R
则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称a等价于b，记作 a ~ b 。
应用
例一：
同班同学关系、同乡关系是等价关系。
平面几何中三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系。
平面几何中直线间的平行关系是等价关系。
例二：
设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下：
R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }
其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。
设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。
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