等积投影

地图投影

等积投影(equal-area projection)是地图投影的一种，是地图上任何图形面积经主比例尺放大以后与实地上相应图形面积保持大小不变的一类投影。即投影面积与实地面积相等的投影——面积比为1。满足等积条件，在地图投影中最容易达到。

概念

地图上任一图形面积与实地上相应的面积相等。即面积变形等于零。为了保持等积条件，需使面积比等于1。常见的等积条件形式有：①P= mnsinθ=1(P为面积比，m为经线长度比，n为纬线长度比，θ为经纬线投影后的夹角)；②P=ab=1(a为某点上最大长度比，b为某点上最小长度比)。在等积投影的不同点上，由于最大长度比不断增大，最小长度比不断缩小，因而形状变化比较大，角度变形也比较大。由于这类投影没有面积变形，故有利于在地图上进行面积对比。

变形椭圆为长短轴各不相同的椭圆，面积相等，但角度变形最大，主要是依靠增大角度变形而保持面积相等。用这种投影编制的地图，因为面积没有变化，所以有利于在地图上进行面积对比，但形状变形比其他投影大。多用来绘制经济图，行政区图和人口图。

地图投影

按照一定的数学法则将地球椭球面上的经纬线转移到平面上的方法。也就是使地球椭球面上各点的地理坐标与平面上各点的直角坐标(或极坐标)保持一定的函数关系。地球椭球面是曲面，而地图是绘制在平面上，因此制图时首先要把曲面展为平面。然而地球椭球面是个不可展的曲面，假如把它直接展为平面，必然发生破裂或褶皱，用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实用的。所以必须采用数学方法将曲面展为平面，以保持平面上图形的完整和连续。地图投影方法很多，但不论采用什么投影方法所得到的经纬线网形状都不可能与地球椭球面上的经纬线网形状完全相似。这表明投影之后地图上的经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地理事物也必然随之产生变形。变形主要表现在三个方面：长度变形、面积变形和角度变形。变形是不可避免的，但若给予一定的条件，如等角条件，等积条件，则可使其中某种变形等于零，用以满足不同用途对地图投影的要求。按变形性质地图投影可分为三类：等角投影、等积投影和任意投影(包括等距投影)。

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把地球椭球面直接透视到平面上，或透视到可展为平面的曲面上，如圆柱面和圆锥面。这样就得到具有几何意义的方位、圆柱和圆锥投影。随着科学的发展，为了使地图上变形尽量减小，或者为了使地图满足某些特定要求，地图投影逐渐跳出了原来借助几何面构成投影的框子，而产生了一系列按照数学条件构成的投影。按照构成方法可以把地图投影分为两大类：几何投影和非几何投影。几何投影是把地球椭球面上的经纬线投影到几何面上，然后将几何面展为平面而成的。根据几何面的形状可以分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影。非几何投影是不借助于几何面，根据某些条件用数学解析法确定地球椭球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状又分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。

等角投影

投影面上某点的任意两方向线夹角与地球椭球面上相应线段的夹角相等。即角度变形等于零。为了保持等角条件，必须使经纬线正交，某点上经线长度比与纬线长度比相等，即θ=90°，m=n。θ——经纬线交角，m——经线长度比，n——纬线长度比。在这类投影图上，小范围内图上图形与实地相似，故又称为正形投影。其长度比在一点上不随方向的改变而改变，但在不同地点，长度比数量是不同的，因此从大范围来说，图上图形与实地并不相似。由于这类投影没有角度变形，多用于编制对方向精度要求高的航海图、航空图、洋流图、风向图和军用地图等。

等角投影具有以下特点：①没有角度变形，即图上每一点的任意两条方向线的夹角都等于实地相应方向线之间的夹角(ω=0)，所以经纬线处处正交；②图上任意点的各个方向长度变形值相等，不同点的长度变形则不同；③所有的变形椭圆都是正圆；④面积变形通常较大。等角投影适用于交通图、洋流图、风向图等。

任意投影

又称“便宜投影”。地图投影中的一类。除等角投影和等面积投影外，都属于任意投影。这种投影既有角度变形，又有面积变形与长度变形，但都比较小。其中包括“等距离投影”，等距仅在某些特定方向上无长度变形，如沿经线或纬线保持等距性质，其变形值介于等角投影与等面积投影之间，是任意投影的特例。多用于对投影性质要求不严格的大区域地图，如世界地图、大洋图等。

在任意投影中，有一种比较常见的等距投影(equidistance Projection)，定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。任意投影多用于要求面积变形不大、角度变形也不大的地图，如一般参考用图和教学地图。

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