简谐运动

机械振动

简谐运动是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动（如单摆运动和弹簧振子运动）。

运动方程

定义

物体受力大小与位移成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的振动称为简谐运动。

表达式

简谐运动方程：

根据该运动方程式，我们可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。简谐运动的数学模型是一个线性常系数常微分方程，这样的振动系统称为线性系统。线性系统是振动系统最简单最普遍的数学模型。但一般情况下，线性系统只是振动系统在小振幅条件下的近似模型。

特征量

振幅

振幅反应了振动的强度，它是由初始条件决定的。上述运动方程中A即为该振动的振幅。

周期、频率、圆频率

物体经过一次全振动所经历的时间叫作振动的周期，用T表示。与周期密切相关的是频率，即单位时间内物体所作的完全振动次数叫作频率，用f表示。

2π秒内所作的完全振动次数叫作圆频率（角频率），即上述运动方程中的ω。它与周期T和频率f之间的关系为、。

简谐运动的圆频率是由系统的力学性质所决定的，故又称为固有圆频率。例如弹簧振子的圆频率公式如下，其中，k和m分别表示弹簧振子的刚度和质量，对于给定的弹簧振子，圆频率仅与自身的刚度和质量有关，是由本身的性质所决定的。

相位与初相位

我们把确定物体任意时刻运动状态的物理量称为相位（或位相），用φ表示，表达式如下所示，其中是t=0时的相位，又称为初相位。

简谐运动的速度与加速度

简谐运动是一种变速与变加速运动。其速度与加速度可以由简谐运动方程（位移-时间方程）通过微分得到。于是，在假设通解情况下，可得

速度：

加速度：

简谐运动的能量

简谐运动的振动动能和振动势能分别为

简谐运动的总机械能

该式子表明，简谐运动的总能量与振幅的平方成正比，而简谐运动是等幅振动，因此简谐运动的总机械能必然守恒。

简谐运动的合成

同方向同频率

设两个同方向同频率的简谐运动方程分别为

则两个简谐运动的合成之后的运动仍为简谐运动，其方程为

其中，合振幅为与的矢量和，如上图所示。合振幅与合振动的初相的表达式如下所示：

同方向不同频率

设两个同方向不同频率的简谐运动方程分别为

合振动的方程为

三角恒等变换后得到

由式子可知，同方向不同频率的简谐运动合成之后便不再是简谐运动，它的振幅时而增大时而减小，合成波动图如下所示。

简谐运动的应用

简谐振动是最简单最基本的振动，任何复杂的振动都可视为若干个简谐运动的合成。而振动和波动的基本规律又是声学、地震学、电工学、电子学、光学等的基础。

电工学

在电工学中有一种正弦交流电路是，是线性电路中当激励（电压源或电流源）按某一正弦规律变化，响应（电压或电流）也为同频率的正弦量时，电路的这种工作状态称为正弦稳态。此时的电路称为正弦稳态电路，或正弦交流电路。它的电流可表示为，其中Im为正弦量的振幅，（ωt+φi）称为相位或相角，ω称为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度。

结构动力学

建筑结构的受力分为静力荷载和动力荷载，其中动力荷载中若荷载随时间变化较大时则需要进行动力荷载验算，如地震荷载。在动力荷载计算时，要以最简单的单自由度体系的自由振动为基础，如下图悬臂立柱结构可简化为一个弹簧振子模型。该自由振动的微分方程的解就是一个简谐运动：，其中A表示质点振动的最大位移，α为初相位。ω为自振频率，仅与结构体系自身的质量和刚度有关，它是表明结构动力性能的重要指标。

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