系综

统计方法描述热力学系统的统计规律性时引入的基本概念

系综（ensemble）：在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合。全称为统计系综。系综是用统计方法描述热力学系统的统计规律性时引入的一个基本概念；系综是统计理论的一种表述方式。

简介

对于一个具有大数自由度的体系，其宏观热力学性质可以将体系对时间求平均得到，也可以对系综求平均得到。所谓系综是指大数独立、但又全同的系统的集合。

对于单一量子态的系综，所有的系统处于相同的量子态，波函数决定了在这一量子态中系统力学量的统计分布。这种量子系综称为纯系综。

系综是假想的概念，并不是真实的客观实体。真正的实体是组成系综的一个个系统，这些系统具有完全相同的力学性质。

每个系统的微观状态可能相同，也可能不同，但是处于平衡状态时，系综的平均值应该是确定的。

研究对象

研究气体热运动性质和规律的早期统计理论是气体动理论。统计物理学的研究对象和研究方法与气体动理论有许多共同之处，为了避免气体动理论研究中的困难，它不是以分子而是以由大量分子组成的整个热力学系统为统计的个体。系综理论使统计物理成为普遍的微观统计理论。

原理

系统的一种可能的运动状态，可用相宇中的一个相点表示，随着时间的推移，系统的运动状态改变了，相应的相点在相宇中运动，描绘出一条轨迹，由大量系统构成的系综则可表为相宇中大量相点的集合，随着时间的推移，各个相点分别沿各自的轨迹运动，类似于流体的流动。

若系统具有s个自由度，则相宇是以s个广义坐标p（详写为p1、p2……ps）和s个广义动量q（详写为q1、q2……qs）为直角坐标构成的2s维空间。在相宇内任一点（p，q）附近单位相体积元内的相点数目D（p，q，t）称为密度函数。D（p，q，t）在整个相宇的积分等于全部相点数，即等于系综所包含的全部系统数N，与时间t无关。定义，称为系综的概率密度函数。表示在t时刻出现在（p，q）点附近相体积元dpdq内的相点数在全部相点数中所占的比值，即表示任一系统在t时刻其运动状态处于（p，q）附近的相体积元dpdq内的概率。显然，概率密度函数ρ（p，q，t）满足归一化条件。

统计物理学的认为系统的任意宏观量I（t）是相应微观量L（p，q）在一定宏观条件下对系统一切可能的微观运动状态的统计平均值。由此可见，经典统计物理的基本课题是确定各种条件下系综的概率密度函数ρ（p，q，t），ρ确定后，即可对相应的热力学系统的宏观性质作出统计描述。这就是统计系综的方法。

ρ（p，q，t）的具体形式与系统所处的宏观状态有关。如果系统处于平衡态，则不显含时间t，在平衡态的系综理论中，由能量、体积和粒子数都固定的系统构成的统计系综称为微正则系综；由与温度恒定的大热源接触，具有确定粒子数和体积的系统构成的统计系综称为正则系综；由与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，具有确定体积的系统构成的统计系综称为巨正则系综；由与温度恒定的大热源接触并通过无摩擦的活塞与恒压强源接触，具有确定粒子数的系统构成的统计系综称为等温等压系综。上述各种统计系综都有各自的概率密度函数。在微正则系综中，系统处于所有可能的微观状态上的概率都相等，即概率密度是不随时间改变的常数，这就是等概率原理。等概率原理是平衡态统计物理的基本假设，它的正确性由它的推论与实际相符而得到肯定。由微正则系统可以推导出其它系综的概率分布函数的形式。

正则系综

微正则系综在概念上是很重要的，但它只能应用于孤立系统，而我们遇到得最多的是封闭系统或开放系统。

对于一个封闭系统，虽然其能量E并不固定，但其温度T可有确定的值。实现这一点的办法之一是让它与温度恒定的大热源接触。如果系统的边界是刚性的，其体积V有确定的值。根据封闭系统的定义，其中的粒子数N也有确定的值。由大量相同的且T，V和N恒定的封闭系统组成的集合称为正则系综（canonical ensemble）。

为了保证系综中的每个系统具有相同的温度，我们可以设想系综中的每个系统都放在一个非常大的温度相同的恒温热浴中，于是正则系综可以表示为如图《正则系综示意图》中所示的大量系统的集合。

电子系综

到目前为止，我们根据单电子近似的假定计算了晶体电子的可能状态和本征值，并未涉及到实际上哪些状态（n，k）是被占据了的。根据能带被占据的情况，能够导出晶体的许多重要性质。这就必须从考虑单个电子的行为开始，过渡到晶体包含的全部电子所形成的系统。在单电子近似的基础上进行这种过渡是可能的：我们假定用这种近似法所得到的能级被占据对遵从泡利原理和费米一狄拉克统计。这就是说，要根据下列假设来处理电子系统：

1．原子核静止于格点处，因此不存在电子与声子之间的相互作用。

2．所有的电子都位于相同的势场中，这种势场是原子核帮平均分布的电子电荷共同造成的．忽略掉电子与电子之间的相互作用。

3．势场具有与晶体结构相同的严格周期性。

4．电子系综遵从泡利不相容原理：每个状态（n，k）最多只能被两个互为反自旋的电子占据。

5．电子在那些可能的能级中的分布符合费米-狄拉克统计。

在绝对零度，所有的能态都是被两个电子占据，直到某一最大能值。像自由电子模型的情形一样，这个最大能值与晶体内的电子总数有关。含有N个晶胞的晶体每个晶胞中有一个核电荷等于Z的原子，所以共有NZ个电子。每一能带有N个本征态，所以可由2N个电子来充填。在T=0K，这NZ个电子占满了最下边的能带的全部能级；所需的能带数是Z/2。是所有的能带全被占满，还是电子所占据的那个最高能带有一半能级空着，要视Z是偶数还是奇数而定。如果结构较为复杂或者有交叠的带，则核电荷Z就不是决定最高能带占据情况的唯一参量。然而在所有情形中，当T=0K时，最高能带的被占情况都标志着晶体是绝缘体还是金属。

常用的三个系综

J.W. 吉布斯把整个系统作为统计的个体，提出研究大量系统构成的系综在相宇中的分布，克服了气体动理论的困难，建立了统计物理。在平衡态统计理论中，对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综（NVE）；对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综（NVT）；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正则系综。这是三种常用的系综，各系综在相宇中的分布密度函数均已得出。量子统计与经典统计的研究对象和研究方法相同，在量子统计中系综概念仍然适用。区别在于量子统计认为微观粒子的运动遵循量子力学规律而不是经典力学规律，微观运动状态具有不连续性，需用量子态而不是相宇来描述。

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