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素元

教育领域术语

在数学里，尤其是在抽象代数里，交换环的素元（prime element）是指满足类似整数里的素数或不可约多项式之性质的一个数学物件。须注意的是，素元与不可约元素之间并不相同，虽然在唯一分解整环里是一样的，但在一般情况下则不一定相同。

定义
交换环R 的元素 p 被称为素元，若该元素不为 0 或单位元，且若 p整除ab（a 与 b 为 R 内的元素），则 p 整除 a 或 p 整除 b。等价地说，一元素 p 为素元，当且仅当由 p 产生的主理想(p) 为非零素理想。
对素元的兴趣来自于算术基本定理。该定理断言，每个非零整数都可以以唯一一种方式写成 1 或 -1 乘上一串正素数之乘积。这导致了对唯一分解整环的研究，推广了仅在整数内被描述之概念。
一个元素是否为素元，取决于该元素处于哪个环内；例如，2在 Z 里是个素元，但在高斯整数环 Z[i] 里则不是，因为 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 无法整除等式右边的任一因子。
整环
一个环是一个集合 A 以及它上面的两种运算，分别称为“加法”（+）和“乘法”（*），满足以下条件：
1、A 关于加法成为一个 Abel 群（其零元素记作 0）；
2、乘法满足结合律：(a * b) * c = a * (b * c)；
3、乘法对加法满足分配律：a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c；
如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：
4、乘法交换律：a * b = b * a。
如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”：
5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作 1，满足：1 不等于 0，且对任意 a，有：1 * a = a * 1 = a；
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例：
1、整数环是整环。
2、整环上的多项式环仍是整环。
3、当 n>1 时，任意环上的n阶矩阵环不是整环。
与素理想
环 R 内的一个理想 I 为素理想，若商环 R/I 为一整环。
一非零主理想为素理想，当且仅当该主理想由一素元所产生。
不可约元素
不可将素元与不可约元素搞混。在一整环里，每个素元都是不可约元素，但反之不一定成立。不过，在唯一分解整环（或更一般地，在GCD环）里，素元与不可约元素会是相同的元素。
举例来说，在二次整数环中，可以用范数证明 3 是不可约元素。不过，3 不是素元，因为
但 3 无法整除，也无法整除 。
例子
下面为环里的素元之例子：
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