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质因数

数学术语

质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。

例子
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基本信息
质因数就是一个数的约数，并且是质数。
比如8=2×2×2，2就是8的质因数；
12=2×2×3，2和3就是12的质因数。
把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。
把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数，如16=2×2×2×2，2就是16的质因数。
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。
分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数 。
分解质因数的有两种表示方法，除了最常用的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。
分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。
Pollard Rho因数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为。
分解质因数代码：
将一个正整数分解质因数。例如：输入90，打印出90=2*3*3*5。
程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：
(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
(2)如果n>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商作为新的正整数n，重复执行第一步。
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值，重复执行第一步。
计算方法
短除法
求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例1、求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12 。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。
从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。
只含有1个质因数的数一定是亏数。
分解质因数是分析和研究整数性质的重要手段。利用分解质因数法解题，可以为一些数学问题提供新的解法，启迪创造性思维；也可以使一些数学问题变难为易，提高学生分析问题和解决问题的能力。
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