纤维丛理论

数学术语

纤维丛理论是拓扑学中的一种理论。把微分流形及以其上每点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起得到纤维丛的概念。

简介

利用纤维丛理论和连络几何学，给出了作为统一电磁场与相互作用场的数学基础的规范场论的一个几何模型。在李群及齐性空间、覆盖空间及一般的向量丛等数学方向上都有应用。

来源

1946年美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论数学上,特别是在拓扑学中，一个纤维丛(fiber/fibre bundle)是一个局部看来像两个空间的直积的空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛有个连续满射 π?: E → B 使得E对于某个F (称为纤维空间)局部看来象直积空间 B × F (这里局部表示在B上局部。) 一个可以整体上如此表达的丛(通过一个保持π的同胚)叫做平凡丛。丛的理论建立在如何用一些比这个直接的定义更简单的方法表达丛不是平凡丛的意义的问题之上。纤维丛扩展了矢量丛，矢量丛的主要实例就是流形的切丛。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。形式化定义一个纤维丛由四元组(E, B, π, F)组成, 其中E, B, F是拓扑空间而π?: E → B是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡条件。B称为丛的基空间，E称为总空间,而F称为纤维。映射π称为投影映射.下面我们假定基空间B是连通的。我们要求对于B中的每个x,存在一个x的开邻域U，使得π?1(U)是同胚于积空间U × F的, 并满足π 转过去就变成到第一个因子的投影。也就是一下的图可交换: 其中proj1?: U × F → U是自然投影而φ?: π?1(U) → U × F是一个同胚。所有{(Ui, φi)}的集合称为丛的局部平凡化。对于B中每个x,原象 π?1(x) 和F同胚并称为x上的纤维.一个纤维丛(E, B, π, F)经常记为以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维从π?: E → B 都是一个开映射,因为积空间的投影是开映射。所以B 有由映射π决定的商拓扑. 一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，E, B, F都必须是光滑流形而所有上面用到的函数都必须是光滑映射。这是纤维丛研究和使用的通常环境。例子令E = B × F 并令π?: E → B为对第一个因子的投影，则E是B上的丛.这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛. 莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带(M?bius strip). 莫比乌斯带是一个以圆为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象π ? 1(U)在图中是个 (有些扭转的)切片，4个方块宽一个方块长。同胚φ把U的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转. 相应的平凡丛B × F看起来像一个圆柱, 但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样(在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间). 一个类似的非平凡丛是克莱因瓶

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