约束条件

数学名词

约束条件，数学名词，在数学规划中，对于决策方案的各项限制，常以不等式或方程式的形式出现。在经济问题中，对目标函数常常要在一定约束条件下求最大值(或最小值)，它们包含着用来代表决策方案的变量，借以对决策方案施加限制范围。

定义

在优化设计中，目标函数取决于设计变量，而设计变量的取值范围都有各种限制条件，如强度、刚度等。每个限制条件都可写成包含设计变量的函数，称为约束条件或设计约束。因为它是设计变量的函数，也称为约束函数。

分类

约束函数可用等式或不等式描述。如果约束函数能够反映设计变量之间明显的函数关系，称为显式约束；否则，称为隐式约束。

等式约束是对设计变量的严格约束，起着降低设计自由度的作用，其形式为：

式中．，l为等式约束的数目，n为设计维数。

在机械优化设计中，大部分约束为不等式约束，其形式为：

式中，，m为不等式约束的数目。根据约束的性质，分为几何约束(边界约束)和性能约束。

几何约束：根据某种设计要求，设计变量必须满足的某些几何条件以及只对设计变量的取值范围加以限制的那些约束，如杆的长度、杆的横截面积等。

性能约束：指满足特定工作性能而建立的约束条件，如工作应力小于许用应力等。

对于等式约束而言，设计变量所代表的设计点必须在所表示的面(或线)上，称为起作用约束或紧约束。对于不等式约束，极限情况所表示的几何面或线将设计空间分成两部分：一部分中所有设计均满足所有的约束条件，这部分空间称为设计点的可行域；另一部分所有点均不满足约束条件，称为设计点的不可行域。在可行域内的设计点，称为可行设计点，可行域也是可行设计点的集合。位于可行域边界上的设计点亦是可行点，过该点的约束为起作用约束，否则为不起作用约束；非可行域是不满足约束条件设计点的集合。

如图1所示的某二维优化设计问题，包含四个不等式约束和一个等式约束。图1中分别表示了可行域、不可行域、可行点、不可行点、起作用约束和不起作用约束。

利用可行域的概念，可以将优化问题的数学模型（见下文）进行简化。设同时满足和的设计点的集合为D(设计点的可行域)，优化问题的数学模型可简化为：