纯粹数学

研究数学本身不以实际应用为目的的学问

纯粹数学也叫基础数学，是一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学(例如理论物理、理论化学)有密切的关系。

简介

纯粹数学也叫基础数学，是一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学(例如理论物理、理论化学)有密切的关系。纯粹数学以其严格、抽象和美丽著称。自18世纪以来，纯粹数学成为数学研究的一个特定种类，并随着探险、天文学、物理学、工程学等的发展而发展。

纯粹数学以数论为其代表。

历史起源

纯粹数学一词正式出现在数学文献中是在19世纪初，当时有三种专业数学期刊正式标有纯粹数学的字样，它们是：1810年法国数学家热尔戈纳(J．D．Gergonne，1771一1859)创办的《纯粹与应用数学年刊》，1826年德国数学家克雷勒创办的《纯粹与应用数学杂志》，常简称为《克雷勒杂志》；1836年法国数学家刘维尔(J．Liouville，1809一1882)创办的与《克雷勒杂志》竞争的《纯粹与应用数学杂志》。这三种数学期刊不约而同地选用“纯粹数学”的称谓表明：纯粹数学的概念已经成熟；纯粹数学是应用数学的对立面；纯粹数学取得一定的合法地位，为其不断扩张打下基础。

请注意，这些都是与当时整个社会的革命形势分不开的，具体到数学，数学家开始职业化、专业化，他们不仅要教学，还要搞科研。搞科研就要有专业杂志发表成果，没有成果不用说提职提级，可能连饭碗都保不住。200年来，纯粹数学的旗帜为许多天才数学家的创新提供了机会。在这个意义下，挪威人阿贝尔(N．H．Abel，1802--1829)可以说是第一位纯粹数学家。时至今日，纯粹数学已经成为整个数学的主流。

进入20世纪，数学家们受到希尔伯特的影响，开始使用公理系统。罗素建立了“纯粹数学”的逻辑公式，以量化的命题为形式。随着数学的公理化，这些公式变得越来越抽象了，“严格证明”成为的简单的标准。实际上，“严格”在“证明”中没有任何新意。以布尔巴基小组的观点，纯粹数学就是被证明了的。

分类

纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。它大体上分为三大类，即研究空间形式的几何类，研究离散系统的代数类，研究连续现象的分析类。

研究空间形式的几何类

属于第一类的如微分几何、拓扑学。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分几何为研究工具。在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。

研究离散系统的代数类

属于第二类的如数论、近世代数。数论是研究整数性质的一门学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等。近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等，它研究更为一般的代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支。它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。

研究连续现象的分析类

属于第三类的如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。

纯粹数学与应用数学

什么是纯粹数学？什么是应用数学？它们的界线怎样划分？这些都是颇为模糊的问题。纯粹数学与应用数学间很难划出严格的界线。数学问题最初来自客观世界，往后则按其自身的规律发展，慢慢地脱离原来的问题，成为一个逻辑上完整的体系。从数学问题来看，由数学内部矛盾引出的问题发展起来的数学分支应属纯粹数学问题，来自客观世界的应属应用数学。但还有些问题不是很明显的，从价值标准来看，纯粹数学总是将美与真放在一起，将数学美作为首要评价标准之一，应用数学除要求数学美之外，总还要有应用，至少有应用的前景。

可否将数学分成若干圈，最里面是纯粹数学，如数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、分析学这些学科中的问题，都是来自数学的内部矛盾，应属纯粹数学。往外延伸，如微分方程、概率论、组合数学等则系具体分析，它们都已形成自身的理论体系，可以从自身内部矛盾来提出待研究的课题，也有以自然科学与工程技术为背景提出的研究课题。至于计算方法、数理统计与运筹学等，其实际背景就很清楚如运筹学中的一些问题就是用数学语言来描写一个实际问题，然后再找出可行的求解方法。统计中的实验设计就是要科学地安排实验，使实验次数尽可能少，而得到的信息量尽可能大。在这里数学与自然科学及工程技术的关系就相当密切了。其价值标准，除要求理论与方法简单明了外，是否真正有用也很重要，应该属于应用数学范畴，再从处理数学问题的手段来看，纯粹数学与应用数学也很有差异。纯粹数学中，证明定理的手段就是逻辑推理。应用数学则允许用模拟手段，例如有两种求整体极大的方法，我们将这两种方法用于已知整体极大的例子，看看这两种方法各成功多少次，各耗去多少机器时间等，由此来说明这两个方法的优劣。

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