线性外推法

外推法

线性趋势外推法是最简单的外推法。这种方法可用来研究随时间按恒定增长率变化的事物。在以时间为横坐标的坐标图中，事物的变化接近一条直线。根据这条直线，可以推断事物未来的变化。

介绍

线性外推法是常用的近似计算方法。可应用于计算残余油饱和度和物理公式的推算。

应用

应用线性外推法，首先是收集研究对象的动态数列，然后画数据点分布图，如果散点构成的曲线非常近似于直线，则可按直线规律外推。

线性外推法计算残余油饱和度

残余油饱和度在文献中常被定义为束缚油饱和度，指剩余油变为不流动或者完全被束缚时的饱和度，它是相对渗透率曲线的端点值，残余油饱和度的大小影响着相对渗透率曲线的形态和驱油效率的高低。随着油田的不断开发，一方面老油田多数已进入中高含水期，加大老油田的挖潜力度，提高其采出程度是保证油田产量的重要方式；另一方面勘探难度不断增大，新发现油田的规模有限，甚至有些油田由于经济效益问题难以得到开发，可采储量的大小直接影响新油田能否投入开发。残余油饱和度是老油田挖潜及新油田开发方案研究中一项重要参数，准确估算油田的残余油饱和度对油田开发方案的制定具有重要意义。

确定残余油饱和度的方法有岩心分析、专门取心、油藏工程研究、测井、不稳定试井（与岩心分析资料相结合）、化学示踪剂研究等。最常用的方法为岩心分析法，其中使用长岩心或密闭取心资料确定的残余油饱和度较为准确，而目前南海东部地区尚无此类资料，因此，利用普通的特殊岩心分析数据确定残余油饱和度是一种常用方法，即用油水相对渗透率实验结果中最后一个实验点对应的含油饱和度值，或利用实验数据外推得到残余油饱和度。事实上，实验室无法准确地测得岩心的残余油饱和度，因此，利用实验值外推是获得残余油饱和度的一种有效方法。

但是，目前关于残余油饱度的外推方法及原则并没有统一的依据，相同的实验数据，不同的研究人员分析得到的残余油饱和度值往往差别较大。针对这种情况，本文提出了残余油饱和度的线性外推法，该方法可以降低外推值的不确定性，提高外推值的可靠性。1　残余油饱和度外推方法目前，在利用特殊岩心分析实验数据时，普遍采用经验公式法对实验室测得的相对渗透率曲线进行归一化处理，处理公式如下：

Swd=Sw－Swi1－Swi－Sor（1）

krw=krw（Sor）*Swdm（2）

kro=kro（Swi）*（1－Swd）n（3）

式中：Swi——束缚水饱和度；

Sor——残余油饱和度；

Sw——含水饱和度；

Swd——归一化的含水饱和度；

krw——水相相对渗透率；kro——油相相对渗透率；

m、n——水相指数、油相指数。

分别对式（2）和式（3）两边取对数得：

lg（krw）=lg（krw（Sor））+m*lg（Swd）（4）

lg（kro）=lg（kro（Swi））+n*lg（1－Swd）（5）

由式（4）和式（5）可以看出，lg（krw）～lg（swd）、lg（kro）～lg（1－swd）呈线性关系，由此，可以通过实验值分别回归lg（krw）与lg（swd）、lg（kro）与lg（1－swd）的线性方程，得到m、n、Krw（sor）。由式（1）和式（3）可得：

kro=kro（Swi）*〔So－Sor1－Swi－Sor〕n（6）

式中So——含油饱和度。由式（6）可以看出，kro与So呈n阶多项式的关系，或kro1n与So呈线性关系。因此，可以利用kro与So的这种关系，外推残余油饱和度。下文的常用外推方法及本文提出的线性外推法均基于该关系式得到。

常规多项式外推法

由式（6）可知，kro与So呈n阶多项式的关系，利用该关系外推残余油饱和度时，需求kro为0时关于So的一元n次方程，如式（7）所示：

an*Son+an－1*Son－1+…+a1*So+c=0（7）

式中an、an－1…a1，c——常数。当n≤3时，可直接利用求根公式得到残余油饱和度值；当n>3时，由于求根公式复杂，目前常用的处理方式是回归kro12或kro14与So的多项式关系，采用试算法结合EXCEL的趋势线倒推预测功能求取kro近似为0时的So值。

利用该方法外推时存在两个问题，多项式的阶数如何选择？对kro开几次方合适？不同的研究人员可能会有不同的选择，外推的结果也不同。另外，由于多项式的阶数越大，关系式的拟合效果越好（即若实验值有z个点，则只需z－1阶多项式就能完全将实验点拟合上），但是，并不是阶数越高越好。由于多项式本身的弯曲特性，使其为了适应某些点会导致其它点误差增大，Runge现象很好地说明了这点。因此，本文认为，在利用常规多项式方法外推残余油饱和度时，需注意合理选取多项式的阶数，保证拟合曲线在[0，1]范围内的单调性，否则拟合曲线没有意义。针对该方法在使用时存在选取多项式的阶数及对kro进行开方的次数不统一的问题。本文根据式（1）～（6）提出以下外推残余油饱和度的方法：线性外推法。

线性外推法

由于油水相对渗透率实验值均是油水两相相对于油相在束缚水饱和度时渗透率，故kro（Swi）=1，同时式（6）中各项参数为正数，因此，由式（6）可以得到：

So=（1－Swi－Sor）*kro1n+Sor（8）

由式（8）可知，kro1n与So呈线性关系，因此，可利用该线性关系外推残余油饱和度，与多项式外推法相比，该方法较为简单直接。利用该方法，假设一系列n值，分别回归kro1n与So的线性方程，该方程的常数项即为残余油饱和度。通常情况下，油相指数n在2～4之间，同时本文统计了南海东部地区214个样品的特殊岩心分析结果，该地区油相指数n基本介于[1，8]区间内，且98%集中在[1，6]区间内因此，首先可分别对实验数据的中kro进行n次开方，其中n为[1，6]区间内任意实数，可根据精度要求，选取n值。然后分别回归求kro1n与So的线性公式得出kro1n为0时的So值，取反求n值与估算n值差别较小且判断系数R2接近于1的外推结果作为残余油饱和度值。

综合以上分析，线性外推法是改进的多项式外推法的简化形式，该方法不仅可以规避多项式阶数对外推值的影响，同时通过比较假设n值与反算n值的差别降低了外推值的不确定性，可替代多项式外推法，其外推过程可归结为以下几步：①假设一系列n值；②借助EXCEL内置函数INDEX和LIN－EST分别求取各假设值对应的R2和Sor；③利用外推得到的残余油饱和度值反求n值；④取R2接近于1且反求得到的n值与假设n值差别较小的外推值，作为最终的残余油饱和度；⑤若步骤④中的外推值不满足精度要求，则可回到步骤①加密假设值，重复②～④步操作，直至满足精度要求。以上步骤也可通过编程实现。以A油田A－1井稳态法测得油水相对渗透率实验值为例，表1为其中一块样品4A的实验条件及结果。利用线性外推法对样品4A值进行分析，通过上述步骤进行外推分析，在[1，6]区间内以0．5为间隔取一系列n值，当n=2．5时，kro1n与So线性相关性最高，且满足一定的精度要求，因此，取n=2．5时外推得到的值作为4A的残余油饱和度，即该方法计算得到残余油饱和度值为0．2398。通过反算n值的方法对取值结果进行检验，反算得到的n值为2．69，与2．5差别较小，因此该外推结果合理。该结果还表明，对kro开方的次数不是越高越好，通过对kro开方放大了低值的影响，因此，n越大，kro1n随So的变化曲线越平缓，外推得到的残余油饱和度值越小，当n达到某个值时，kro1n与So呈现良好的线性关系。线性外推法可以很好地避免多项式外推法中随意选取n值的弊端。当kro与So呈上凸型的曲线时，n值的选取范围为0～1，这种情况极为少见。

线性外推法处理物理数据

线性外推法是常用的近似计算方去,若将其应用于物理实验数据处理(如用作图法从截距求某些物理量的值等)，能使实验数据处理简单、直观，物理意义更加明确。白泽生等以落球法测量液体的粘滞系数实验为例，说明线性外推法在物理实验数据处理中的应用。

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