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线性子空间

线性空间中部分向量组成的线性空间

线性子空间（又称向量子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间。

定义
定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。
注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：
（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；
（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。
2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。
3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。
举例
例1 设域是R，向量空间V是欧几里得空间。 取W为最后的分量是 0 的V中所有向量的集合。则W是V的子空间。
证明：显然W非空，且
例2 设域是R，向量空间V是是欧几里得空间。取W为V的使得x=y的所有点 (x,y) 的集合。则W是R的子空间。
证明：显然W非空，且
例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间。
例4 P[x]n是（次数小于n的多项式全体）是线性空间P[x]的子空间。
性质
4.对于子空间V1，V2以下三个论断是等价的：
1）
2）
3）
5（维数公式）如果V1，V2是线性空间V的两个子空间，那么：维（V1）+维（V2）=维（V1+V2）+维（V1∩V2）.
6.如果n维线性空间V中两个子空间V1，V2的维数之和大于n，那么V1，V2必含有非零的公共向量。
7.设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V等于U与W的直和。
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