线性时不变系统理论

应用数学术语

线性非时变系统理论俗称LTI系统理论，源自应用数学，直接在核磁共振频谱学、地震学、电路、信号处理和控制理论等技术领域运用。它研究的是线性、非时变系统对任意输入信号的响应。虽然这些系统的轨迹通常会随时间变化（例如声学波形）来测量和跟踪，但是应用到图像处理和场论时，LTI系统在空间维度上也有轨迹。因此，这些系统也被称为线性时不变平移，在最一般的范围理论给出此理论。在离散（即采样）系统中对应的术语是线性时不变平移系统。由电阻、电容、电感组成的电路是LTI系统的一个很好的例子。

简介

线性非时变系统必须同时满足线性和非时变性：

线性，指系统的输入和输出之间的关系是一个线性映射：如果输入产生响应，而输入产生响应，那么放缩和加和输入产生放缩、加和的响应，其中和为实标量。此性质可以拓展到任意项，于是对于实数，输入

产生输出

特别地，输入

产生输出

其中，和是标量，而输入在序号为的连续统内变化。因此，如果输入函数可以由一个连续统的输入函数像上面展示的那样，“线性”组合而成，则对应的输出函数，可以通过相应连续统的输出函数以相同的方式缩放和求和得到。

时不变性，指如果将系统的输入信号延迟秒，那么得到的输出除了这秒延时以外是完全相同的，称这样的系统是“时不变”的。即若系统输入，对应的输出为，则输入为时系统的输出为。

LTI系统的理论的基本结论是任何LTI系统都可以完全用一个单一方程来表示，称为系统的冲激响应。系统的输出可以简单表示为输入信号与系统的冲激响应的卷积。这种分析方法通常称为时域观点。相同的结果对于离散时间线性移位不变系统也成立，其中信号为离散时间取样信号，并且卷积对序列定义。

同理，任何LTI系统的特征可由频域的系统传递函数刻画，它是系统冲激响应的拉普拉斯变换（在离散时间系统的情况下为Z变换）。由于这些变换的性质，该系统在频域的输出是传递函数与输入的变换的乘积。换句话说，时域中的卷积相当于频域中的乘法。

对于所有的LTI系统中，本征函数和所用变换的基函数，是复指数函数。这即是说，如果一个系统的输入是复波形，复振幅为，复频率为，输出将是输入的复常数倍，表示为新复振幅的式子。比值是频率的传递函数。

因为是正弦的复指数与复共轭频率的总和，如果输入到该系统是一个正弦波，则系统的输出也将是一个正弦波，或许具有不同振幅和不同相位的，但总是与相同的频率在达到稳定状态。LTI系统不能产生频率成分中没有的输入。

LTI系统理论善于描述了许多重要的系统。至少相对于时间变化的和/或非线性的情况下最LTI系统被认为是“容易”来分析。任何可以被模拟为常系数线性齐次微分方程系统是LTI系统。这类系统的实例是电路由电阻器S，电感s和电容器S（RLC电路）的。理想的弹簧 - 质量 - 阻尼系统也是LTI系统，并且在数学上是等效的RLC电路。

最LTI系统概念都是连续时间和离散时间（线性移位不变）的情况下相似。在图像处理中，时间变量被替换为2空间变量，时间不变性的概念被替换为二维移不变性。当分析滤波器组s和MIMO系统中，常常是有用考虑的信号矢量。

线性系统不是时不变可以用其他方法来解决，如格林函数方法。同样的方法时，必须使用问题的初始条件是不为空。

重要的系统特性

因果性和稳定性是描述系统的两个重要性质。如果独立变量是时间，那么因果性是必须的，但并不是所有系统的独立变量都是时间。例如，一个处理静止图像的系统不需要具备因果性。非因果系统可以建立，并可以在许多情况下发挥作用。即使是非实数系统也可以构建，并且在很多场合也是非常有用的。

因果性

如果系统输出只与当前以及过去的输入有关，那么该系统就是因果系统。因果性的充分必要条件是

其中是冲激响应。由于拉普拉斯变换的逆变换不确定，所以通常不能根据拉普拉斯变换确定系统的因果性。只有在确定了系统的收敛域之后才能确定该系统的因果性。

稳定性

如果系统对每个有界输入来说输出都是有界的，那么系统就是有界输入有界输出稳定的（BIBO稳定），用数学方法表示就是如果每个输入满足

就会导致输出满足

（也就是说的最大绝对值是有界的意味着的最大绝对值也是有界的），那么系统就是稳定的。系统稳定的充分必要条件是冲激响应是在L1中（其L1范数有限）的：

在频域中，收敛域必须包含虚轴。