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线性正算子逼近

线性算子逼近论的一个重要组成部分

线性正算子逼近，线性算子逼近论的一个重要组成部分（见函数逼近论），其特点在于用做逼近工具的线性算子序列是正性的（或单调性的）。

在函数的逼近问题中，很多用代数多项式或三角多项式作逼近手段的逼近过程，比如熟知的泰勒级数的部分和。傅里叶级数的部分和，各种典型平均以及各种插值多项式等等都是一些线性算子。
一般地讲，设{Ln}是巴拿赫空间x（例如连续函数空间C，p次可积函数空间Lp(p≥1)等）到自身的线性算子序列，则算子逼近主要研究如下两个方面的课题。
①对于给定的算子序列{Ln}，当n→∞时，对任意确定的f∈x，序列Ln(f)是否依x上的范数收敛于f这个问题的研究通常用建立算子序列的收敛定理来实现。
②研究f的光滑性与逼近度‖f-Ln(f)‖X趋于零的速度之间的关系。这个问题的研究通常用建立算子逼近中的直接定理、逆定理，考察算子逼近的饱和现象以及某些特殊函数类的逼近度量来实现。当{Ln}是线性正算子序列（即对每个n和f≥0，恒有Ln(f)≥0）时，上述两个方向的研究是比较深入的。
特别是∏.∏.科罗夫金提出试验集概念之后，在C空间和Lp空间中成功地建立了用线性正算子逼近的收敛定理，以及利用线性正算子对试验集中函数的逼近度建立各种直接定理和逆定理。
关于线性正算子饱和现象的研究，在周期情况下，利有傅里叶变换技巧获得较完善的结果;在非周期情况，则利用抛物线技巧得到解决。
应当指出，由于线性正多项式算子的逼近阶不高于1/n2，因而作为解决逼近论中基本问题的良好工具，线性正多项式算子的应用有一定的局限性。
然而，对于上面提出的两个方向的研究，线性正算子逼近中的正性是本质的，因为正如C.M.洛津斯基、Ф.И.哈尔希拉布泽所指出的：不存在非正性的线性多项式算子序列能够肯定地回答第一个问题。线性正算子逼近的研究，在中国取得不少新的成果，提出过一些新的方法，同时在应用上也取得了新的进展。
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