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线性表示

数学术语

线性表示是一种重要的表达形式，指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。

定义
定义1 设x1，x2，…，xn是线性空间E的有限个向量，x∈E，如果存在数c1，c2，…，cn使得
则称x可由x1，x2，…，xn线性表示，或x是x1，x2，…，xn的线性组合。
举例
例1 任意一个n维向量都是向量组
的一个线性组合。因为
例2 由定义1可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就可以了）。
相关概念
等价向量组
定义2 如果向量组中每一个向量都可以由向量组线性表示，那么向量组就称为可由向量组线性表示。如果两个向量组互相可以线性表示，它们就称为等价。
例如，设则向量组与向量组是等价的。
注：向量组之间的等价满足反身性、对称性和传递性。
线性相关
定义3 如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表示，那么向量组称为线性相关的。
例如，向量组是线性相关的，因为
注：由定义3可知，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。
重要性质
2.向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。
3.① 一个向量可由向量组中其余向量线性表示，前提是这个向量组线性相关。
②线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示；但当其余向量线性无关时，这个向量必可由其余向量线性表示。
4.零向量可由任一组向量线性表示。
5.向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
6.任一n维向量α=（α1，α2，……，αm）都可由n维单位向量组线性表示。
7.设α1，α2，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，且表示是唯一的。
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