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终值定理

信号与系统术语

就课程来讲，终值定理是“信号与系统”课程中的知识，对应的有初值定理。就其地位而言，在“信号与系统”中，连续系统的S域分析占有重要的地位，在微分方程求解、电路分析等领域发挥着关键作用。而S域分析的要点在于掌握拉普拉斯变换及其性质。拉普拉斯变换的重要性质包括：尺度变换、时移、频移、微分、积分、卷积、初值定理与终值定理，与其他性质相比，初值定理与终值定理是重点和难点。Z域分析的终值定理方法类似。

连续系统
定理内容
连续系统的拉普拉斯变换对应的终值定理如下所示：
设有连续函数f(t)，当t趋于无穷时，f(t)的极限存在，且有：
则终值定理可表达为：
该定理说明了，当满足一定使用条件时，可由S域的象函数直接得到时域连续函数的终值。
注意：终值定理是取 的极限，因而s=0的点应在sF(s)的收敛域内，否则不能应用终值定理。
证明
由微分定理，有
令 ，对等式两边取极限，得 等式左边为 于是有
即 。
典例
如函数f(t)的象函数 ，。
求原函数f(t)的初值和终值。
解：（1）由初值定理，得： ；
由F(s)的原函数 ，显然以上结果对a>0或a<0都是正确的。
（2）由终值定理，得： ，
① 若a>0，则有 ；
② 若a=0，则有 ；
③若a<0，则有 ；
对于a≥0， 的收敛域分别为 ，和 ，显然 s=0在收敛域内，因而结果 ①②正确；对于a<0，sF(s)的收敛域为Re[s]>-a=|a|，s=0不在收敛域内， 因而结果③不正确，由F(s)的原函数容易验证以上的结果。
离散系统
定理内容
离散系统的z变换对应的终值定理如下所示：
终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。
如果序列在k
则序列的终值 ：
或写为：
上式中是取 的极限，因此最终终值定理要求z=1在收敛域内（即0≤a<1），这时 存在。
典例
某因果序列的z变换为（设a为实数）： ，
求 。
解：
（1）利用初值定理可得
上述象函数的原序列为 ，可见以上结果对任意实数a均正确。
（2）利用终值定理可得
① 当|a|<1时
，
z=1在F(z)的收敛域内，终值定理成立，因而有：
不难验证，原序列 ，故|a|<1时以上结果正确。
② 当|a|=1时
若a=1，则有 ，此时原序列 ，结果正确。
若a=-1，则有 ，此时原序列 ，这时 不收 敛，因而终值定理不成立。
③ 当|a|>1时，z=1不在收敛域内，终值定理也不成立。
难点和建议
难点：现有的多数教材与参考书均直接给出了定理的使用条件和证明过程的叙述方式，并未解释为何使用定理时需要条件的限定，而且在证明过程中，往往回避了连续信号中含有冲激函数项的情况。这样的处理方式割裂了定理使用条件和定理内容之间的联系，使读者在学习过程中感到十分困惑。
建议：首先从定理的使用条件出发，分析特定象函数的拉普拉斯逆变换； 其次寻找定理使用条件与定理本身之间的关联；最后再给出定理的严格证明，即先从频域到时域进行引导，再从时域到频域证明。
注意事项
其它应用
可用于计算自控原理中的稳态误差。
使用时应注意：必须明确终值定理的应用条件，f(t)的拉氏变换F(s)在s右半平面及虚轴上解析，即没有极点，计算时首先应该判断系统的稳定性。
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