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终对象

在范畴中起着特殊作用的一种对象

终对象(terminal objects)范畴论的基本概念之一指在范畴中起着特殊作用的一种对象，是始对象的对偶概念。在数学分支的类别理论中，C类的始对象是C中的对象I，使得对于C中的每个对象X，存在精确的一个态射I→X。同样的是终对象（也称为终端元素、终端对象）：T是终端，如果对于C中的每个对象X存在单个态射X→T。

定义
范畴C的对象t若满足对任意a∈Ob(C)，有且只有一个态射a→t，则t称为终对象。
简介
终对象(final object)范畴论的基本概念之一指在范畴中起着特殊作用的一种对象，是始对象的对偶概念。在数学分支的类别理论中，C类的始对象是C中的对象I，使得对于C中的每个对象X，存在精确的一个态射I→X。同样的是终对象（也称为终端元素、终端对象）：T是终端，如果对于C中的每个对象X存在单个态射X→T。
如果一个对象既是始端，也是终端，它被称为零对象或空对象，它是一个零对象的类。
一个严格的始对象I，它的每一个态都是同构的。
举例
（1）空集是集合类别中的唯一始对象，每个单元素集合（singleton）是此类别中的终对象，这里没有零对象。 类似地，零空间是拓扑空间中唯一的始对象，拓扑空间的类别和每个一点空间是此类别中的终对象。
（2）在集合和关系的类别中，空集是唯一的始对象，唯一的终对象，因此是唯一的零对象。
（3）在（A，a）到（B，b）中的一个函数ƒ：A→B与ƒ（a）= b中，指向集合的对象是非空集合，每个元素都是零对象。 类似地，在指向拓扑空间的类别中，每个单例都是零对象。
（4）在Grp中，组的类别，任何小组都是零对象。代数也是Ab中的零对象，阿贝尔组的类别，Rng伪环的类别，R-Mod，环上的模块类别，以及K-Vect，字段中的向量空间的类别。 有关详细信息，请参阅零对象（代数）。 这是术语“零对象”的起源。
（5）在字段中，字段的类别，没有始或终对象。 然而，在固定特征的字段的子类别中，素数字段是始对象。
（6）任何部分有序的集合（P，≤）可以解释为一个类别：对象是P的元素，并且当且仅当x≤y时，存在从x到y的单个态射。 当且仅当P具有最小元素时，该类别具有始对象； 当且仅当P具有最大元素时，它具有终对象。
（7）在方案类别中，Spec（Z）整数环的素谱是终对象。 空方案（等于零环的主频谱）是一个始对象。
属性
存在性和唯一性
始对象和终对象不需要存在于给定的类别中。 然而，如果它们确实存在，它们本质上是独一无二的。 具体来说，如果I1和I2是两个不同的始对象，则它们之间存在唯一的同构。 此外，如果我是一个始对象，那么任何与我同构的对象也是一个始对象。 终对象也是如此。
对于完整的类别，存在始对象的存在定理。 具体来说，当且仅当存在C的对象的集合I（不是正确的类）和I索引族（Ki）时，（C）的任何对象X 对于一些i∈I，至少有一个态Ki→X。
等效公式
类别C中的终端对象也可以被定义为唯一空图0→C的限制。由于空类别是空虚类别是离散类别，终对象可以被认为是空的产品（产品确实是一般为离散图{X_i}）。同样的，一个始对象是空图0→C的合并，可以认为是一个空的副产品或分类总和。
因此，保留限制的任何函子将使终对象成为终对象，并且保留colimits的任何函子将使始对象成为始对象。例如，具有空闲对象的任何具体类别中的初始对象将是由空集合生成的空闲对象（由于自由函数与左侧的“忘记函数”相关联，因此保留了colimits）。
初始和终端对象也可以根据通用属性和伴随函子来表征。令1是具有单个对象的离散类别（由...表示），并且令U：C→1是唯一（常数）函子为1.然后
C中的初始对象I是从·到U的普遍态射。发送给我的函子与U相连。
C中的终端对象T是从U到...的通用态射。发送给T的函子正好与U。
与其他分类结构的关系
在类别理论中的许多自然结构可以根据在适当类别中找到初始或终端对象来制定。
从对象X到函子U的通用态射可以被定义为逗号类别（X↓U）中的初始对象。 从U到X的普遍态势是（U↓X）的终对象。
F的极限是Cone（F）中的锥体类别的终端对象。D，F的合并是来自F的锥体类别中的始对象。
函数F到集合的表示是F元素类别中的初始对象。
最终函子（分别是初始函子）的概念是对最终对象（分别是初始对象）概念的概括。
其他属性
初始或终端对象的同形异构是微不足道的：End（I）= Hom（I，I）= {idI}。
如果类别C具有零对象0，则对于C中的任何对象X和Y，唯一的组合X→0→Y是从X到Y的零态。
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