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绝对几何

绝对几何

绝对几何指满足希尔伯特Hilbert的《几何基础》中的接合公理、顺序公理、合同公理和连续公理等四组公理的几何。欧式几何就是在满足这四组公理的基础上还满足平行公理，而罗氏几何（非欧几何的一种）就是在这四组公理的基础上还满足罗巴切夫斯基平行公理。

简介
1899年，希尔伯特（D.Hilbert）在他的《几何基础》一书中，成功地建立了欧几里几何的完整的公理体系，它由五组公理组成，即关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理和欧几里得平行公理。如果去掉欧几里得平行公理，则以前四组公理为基础建立起来的几何称为绝对几何。如果用罗巴切夫斯基平行公理取代欧几里得平行公理，而前四组公理不变，则以此为基础建立起来的几何便是罗巴切夫斯基几何。因此，绝对几何是欧几里得几何和罗巴切夫斯基几何的公共部分。
结合公理
[axiom of incidence]
结合公理亦称关联公理(incidence axioms)或从属公理(subordinate axiom)。希尔伯特公理系统中规定基本对象“点”，“直线”，“平面”之间结合关系的一组公理。结合关系叙述为“......在......上面”或者“......通过......”，它包括以下八条：
（1）对于任意的两个点A，B，存在通过这两点多直线；
（2）对于任意两个不同的点A，B，至少存在一条通过它们的直线；
（3）在每一条直线上至少有两个点：至少存在三个点，不在同一条直线上；
（4）对于不在同一条直线上的三点A、B、C，存在通过每个点点平面，在每个平面上至少有一个点；
（5）对于任意三个不在同一直线上的点A，B，C，至多有一个通过每个点点平面；
（6）如果直线的两个点A，B 落在平面上，那么直线的任何一个点都在平面上；
（7）如果两个平面有一个公共点，那么它们至少还有第二个公共点；
（8）至少存在四个点，不在同一个平面上。
上面的（1）～（3）可以称为平面结合公理，（7）表明空间的维数不大于 3，（8）表明空间的维数不小于 3。
顺序公理
[axiom of order]
顺序公理亦称次序公理 [axiom of order]，希尔伯特公理系统中建立点的顺序关系的一组公理。顺序关系叙述为“......在......之间”，它包括以下四条：
（1）若点 B 介于 A 与 C 之间，则A，B，C 是一条直线上的不同三点，且点 B 也介于 C 与点 A 之间；
（2）对于任意两点A，C，直线 AC 上至少存在一点 B，使点 C 在点A，B之间；
（3）在一条直线上的任意三点中，至多有一点在另两点之间；
（4）（帕施公理）设A，B，C为不在同一直线上的三点，a是平面 ABC 上的一条直线，但不通过三点A，B，C中的任何一点。如果直线 a 通过线段 AB 上的点，那么它或者通过线段 AC 上的点，或者通过线段 BC 上的点。
合同公理
[axiom of congruence]
合同公理亦称全等公理（axiom of congruence）。希尔伯特公理系统中确定线段或角的合同关系的一组公理。合同关系叙述为“......合同于......”或“......等于......”。它包括以下五条：
（1）设A，B 为直线a上的两点，为直线 a 或另一直线上的一点，则在直线 a 或上点的指定一侧，总有一点使线段 AB 合同于线段。可用符号记为;
（2）若，且，则
（3）设 AB 与 BC 为直线 a 上无公共内点的两个线段，又设与为同一直线 a 或另一直线上无公共内点的两个线段，如果，且,则必有；
（4）设平面上有一个角，在平面上有一直线，而且在平面的一侧，设是直线 上从点出发的一条射线，则在平面上有且只有一条射线。使得合同于，且角的所有内点均位于的给定一侧，可用符号记为。对于任意，有；
（5）关于与，如果有，，且，则必有，。
连续公理
[axiom of continuity]
连续公理是希尔伯特公理系统中确定直线的连续性，并建立线段和角的度量理论的一组公理。它包括以下两条：
（1）阿基米德公理（Archimedean axiom）若 AB 及 CD 为任意二线段，则在沿 A 到 B 的射线上可以取有限个点，使线段都合同于线段 CD ，且点 B 在点 A 与之间；
（2）直线完备公理（axiom of linear completeness）一直线上所有满足结合公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理的点的集合不可能扩充成仍然满足这些公理的更大的集合。直线完备公理等价于康托尔公理。
直线完备公理保证了直线上的一切点可以和实数一一对应起来，它等价于康托尔公理。
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